Цикл Карно. Теоремы Карно.

От любой машины требуется, чтобы работа, которую она совершает, была максимальной, а затраты, расходы – минимальны. Многие ученые занимались разработкой тепловых машин и особое место в этом ряду занимают работы французского военного инженера Сади Карно (1796-1832). Он занимался разработкой высокоэкономичной универсальной паровой машины. Карно тщательно проанализировал условия совершенствования паровых машин, но он, однако, был весьма далек от практического применения своих выводов. Карно всю жизнь не сомневался в существовании теплорода.

Сади Карно предложил цикл идеальной тепловой машины, являющийся важнейшим термодинамическим циклом. Рабочий цикл идеальной тепловой машины состоит из 2-х равновесных изотермических и 2-х равновесных адиабатических процессов. В машине отсутствуют всякие потери на теплопроводность, лучеиспускание, трение и т.д. С машиной связаны два резервуара теплоты. Один с температурой - нагреватель, теплоотдатчик; второй с температурой - холодильник, теплоприемник. Резервуары настолько велики, что отдача и прием теплоты не изменяет их температуры.

Рассмотрим циклический процесс, совершаемый рабочим телом, на диаграмме состояний в -координатах, и принцип работы идеальной тепловой машины Карно:

1-2 – рабочее тело совершает изотермическое расширение при этом:

изменяется объем , так что ;

работа, совершается рабочим телом за счет передаваемого рабочему телу количества теплоты от нагревателя - положительна;

теплота, полученная рабочим телом, положительна;

внутренняя энергия рабочего тела не изменяется .

2-3 – адиабатическое расширение рабочего тела при этом:

изменяется объем , так что ;

изменяется температура , так что ;

адиабатическое расширение, следовательно, рабочее тело совершает работу за счет убыли внутренней энергии, работа системы ;

изменение внутренней энергии рабочего тела - отрицательно.

3-4 – изотермическое сжатие рабочего тела при этом:

изменяется объем , так что ;

работа совершается над рабочим телом - отрицательна, если учесть уравнения адиабат 2-3 ® и 4-1 ® , разделив первое уравнение на второе, то , отсюда Þ и работу можно выразить через отношение объемов изотермы 1-2 ;

холодильнику передается от рабочего тела количество теплоты;

теплота, полученная холодильником от рабочего тела, - отрицательна;

внутренняя энергия рабочего тела не изменяется .

4-1 - адиабатическое сжатие рабочего тела при этом:

изменяется объем , так что ;

изменяется температура , так что ;

адиабатическое сжатие, следовательно, работа совершается над рабочим телом, она отрицательна и идет на увеличение внутренней энергии рабочего тела ;

изменение внутренней энергии рабочего тела - положительно.

В результате такой работы из количества теплоты , переданного от нагревателя рабочему телу, только часть превращается в полезную механическую работу, а другая часть рассеивается, отдается теплоприемнику.

I теорема Карно: КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и предельных адиабат, а определяется только температурой теплоотдатчика и теплоприемника.

Докажем теорему, вычислим КПД идеально тепловой машины, работающей по циклу Карно:

Þ .

Мы проводили рабочий цикл так, чтобы исключить контакт тел с различной температурой, т.е. с наибольшей работой. Поэтому более высокий КПД принципиально получить нельзя.

II теорема Карно: КПД идеальной тепловой машины, работающей по обратимому циклу всегда больше КПД машин, использующих необратимые процессы при тех же начальных и конечных температурах

Рассмотрим КПД реальной тепловой машины. В реальной тепловой машине существуют потери тепла, которые не учитываются при рассмотрении идеальной машины, это теплообмен с окружающей средой, находящейся при более низкой температуре. Обозначим эту потерю , кроме этого на преодоление сил трения в любой реальной машине тратится количества теплоты. Таким образом, работа реальной тепловой машины , то .

А так как реальных обратимых процессов не существует, мы доказали вторую теорему Карно:

Второе начало ТД.

Второе начало ТД так же как и I начало ТД является эмпирическим законом, полученным в результате обобщения многолетних опытных результатов. Второе начало ТД было сформулировано, независимо друг от друга двумя учеными, Клаузиусом и Кельвином (лордом Томпсоном).

Формулировка Клаузиуса: процесс, при котором не происходит никаких изменений, кроме передачи тепла от горячего тела к холодному, является необратимым, иначе говоря, теплота не может спонтанно перейти от более холодного тела к более горячему, без каких либо других изменений в системе. (т.е. невозможен циклический процесс, единственным результатом которого является передача тепла от более холодного тела к более горячему телу, без изменений в окружающих телах).

Формулировка Кельвина: Невозможен циклический процесс, единственным результатом которого было бы превращение теплоты, получаемой системой от внешней среды в работу, без изменений в окружающей среде.

В этих формулировках ничего не говорится о полном преобразовании работы в теплоту. Действительно, никаких ограничений на этот процесс не существует! Работу можно полностью преобразовать в теплоту без каких-либо иных наблюдаемых изменений (например, торможение автомобиля).

Именно здесь мы встречаемся с фундаментальной ассиметрией природы: работа и теплота, будучи эквивалентными, в качестве возможных способов передачи энергии, все же не вполне эквивалентны с точки зрения из взаимных переходов друг в друга. Эта ассиметрия и выражается II началом ТД.

На первый взгляд формулировки Кельвина и Клаузиуса различны, но они эквивалентны, и если верна одна, то верна и вторая и наоборот, если верна вторая то, следовательно, верна и первая. Докажем эквивалентность формулировок Кельвина и Клаузиуса от противного.

1) Допустим, что Кельвин – неправ, а Клаузиус - прав.

Поместим устройство, работающее против принципа Кельвина, между нагревателем и холодильником. Оно превращает тепло в работу полностью, не производя никаких изменений в окружающей среде.

Соединим устройство с тепловой машиной Карно, работающей по обратному циклу, т.е. над рабочим телом совершается работа , и рабочее тело, забирая количество теплоты от холодильника, передает к нагревателю. Предположим, устройство работает достаточно долго. Вся отбираемая у нагревателя теплота превращается в работу . Затем по закону сохранения энергии тепловая машина Карно передает нагревателю количество теплоты . Очевидно, результатом работы такого устройства является передача количества теплоты от холодильника нагревателю, без каких-либо изменений в окружающей среде.

Мы получили противоречие - устройство, работающее против принципа Клаузиуса, следовательно, доказали, что если Кельвин – неправ, то и Клаузиус – неправ.

2) Допустим, что Клаузиус - неправ, а Кельвин – прав.

Поместим устройство, работающее против принципа Клаузиуса, между нагревателем и холодильником. Оно передает от холодильника количество теплоты нагревателю без каких-либо изменений в окружающей среде. К этим же термостатам подсоединим тепловую машину Карно. Она берет от нагревателя количество теплоты и совершая работу передает холодильнику количество теплоты . Предположим, устройство работает достаточно долго. От холодильника забирается количество теплоты , и передается нагревателю . От нагревателя забирается количество теплоты , совершается работа и возвращается холодильнику . По закону сохранения энергии . Очевидно, единственным результатом работы такого устройства будет превращения количества теплоты в работу без каких-либо изменений в окружающей среде. Мы получили противоречие - устройство, работающее против принципа Кельвина, следовательно, доказали, что если Клаузиус – неправ, то и Кельвин – неправ.

Мы доказали эквивалентность формулировок II начала ТД, данных Кельвином и Клаузиусом. Это не единственные формулировки II начала ТД.

Вторая формулировка: невозможен вечный двигатель второго рода, т.е. невозможен двигатель с КПД=100%, который тепло переводит в работу, без каких-либо изменений в окружающей среде.

По Кельвину: невозможен цикл с , .

По Клаузиусу: невозможен цикл , .

I начало ТД: - работа не больше количества тепла, переданного системе.

II начало ТД: - работа меньше количества тепла, переданного системе.