ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ОПОР

Требуется вычислить реакции внешних опор колес 1 и 2, а также силы натяжения всех ветвей тросов.

Для определения сил реакций опор и силы натяжения троса между телами 1 и 2 воспользуемся уравнениями, выражающими принцип Даламбера.

Согласно принципу Даламбера, если в данный момент времени ко всем действующим на механическую систему силам присоединить силы инерции Даламбера, то получившаяся система сил будет эквивалентна нулю и для неё выполняются уравнения статики.

Нужно изобразить активные силы и реакции внешних опор так же, как в пп. 2 и к ним добавить момент пары сопротивления М_с.

Силы инерции тел вращающихся тел 1 и 2 приводятся к парам сил с соответствующими моментами М₁^Ф=-I_z1ε₁, М₂^Ф=-I_z2ε₂. Знак минус в этих формулах указывает на то, что моменты и угловые ускорения противоположны по направлениям. I_z1=m₁ρ₁² и I_z2= m₂ρ²₂ - моменты инерции колес относительно их осей вращения. Сила инерции тела 3, которое движется поступательно, равна . Все силы и моменты изображены на рисунке.

Составим уравнения, выражающие принцип Даламбера, для каждого тела в отдельности. При этом учтём силы натяжения троса, который передаёт движение от первого тела ко второму. Это внутренние силы S₁ и S₂,, по

3-му закону Ньютона они равны по величине и противоположны по направлению.

Система сил, действующих на тело 1, плоская, поэтому следует составить три уравнения. Сумма проекций всех сил на ось x равна 0

Σ Fix=0, N_1x – S₁ cos15° =0. (8.1)

Сумма проекций всех сил на ось y равна 0

Σ Fiy=0, N_1y –m₁g- S₁ sin15° =0. (8.2)

Сумма моментов всех сил относительно точки О₁ равна 0

Σ M_о1(Fi) = 0, -P R₁ + S₁ r₁+ М₁^Ф =0. (8.3)

Аналогично составляются уравнения для сил, действующих на тело 2.

Σ Fix=0, N_2x + S₂ cos15° = 0; (8.4)

Σ Fiy=0, N_2y – m₂ g+ S₂sin15° – m₃ g –Ф₃ =0; (8.5)

Σ Mo₁(Fi) = 0, S₂ r₂ – m₃ g R₂ - Ф₃ R₂- М_с. - М₂^Ф =0. (8.6)

Из уравнения (8.3) определим S₁

S₁= (P R₁ - М₁^Ф)∙ 1/ r₁=(P R₁- I_z1ε₁)∙ 1/ r₁.

М₁^Ф 1

М₂^Ф

S₂

N_2y S₁ 15˚ N_1y

N_2x N_1x

m₂g m₁g P

v₃ Мс

Рис.5 Динамическая схема.

. Подставляя значения всех величин и используя формулу (6.3) для углового ускорения ε₁, получим значение силы натяжения троса между колесами 1 и 2 в виде функции от времени.

S₁=(1750-199,48 е^{- 0,312t})Н. (8.7)

Для оценки максимального значения, рассмотрим функцию е^{- 0,312t}.При t=0 эта функция рана 1, а если t→∞, то функция е^{- 0,312t} →0. Отсюда можно сделать вывод, что сила S₁ имеет максимальноезначение при установившемся движении: S₁^max=1750 Н.

Из уравнений (8.1) и (8.2) найдем реакции неподвижной шарнирной опоры N_1x и N_1y, а из (8.4) и (8,5) найдем N_2x и N_2y.

N_1x= S₁ cos15°; N_1y= m₁g+S₁ sin15°;

N_1x=(1690,37-192,68 е^{- 0,312t})Н; (8.2)

N_1y=(2952,93-51,6 е^{- 0,312t})Н. (8.3)

Максимальные значения сил: N_1x^max=1690,37Н; N_1y=2952,93Н.

Аналогично

N_2x=- S₁ cos15°; N_2y =+ m₂ g- S₂sin15° + m₃ g +Ф₃;

N_2x=-(1690,37-192,68 е^{- 0,312t})Н; (8.3)

N_2y=(6547, 067+784,7 е^{- 0,312t})Н. (8.4)

Максимальные значения сил: N_1x^max=1690,37Н; N_1y^max=2952,93Н; ‌ N_2x^max‌=1690,37Н при установившемся движении.

Сила N_2y имеет максимальное значение в момент времени t=0, когда механизм трогается с места. N_2y^max=7331, 177Н.

Для определения силы натяжения троса, на котором висит груз 3, применим принцип Даламбера к грузу.

y S₃ Векторная сумма всех сил, действующих на тело 1,

3 включая силу инерции Даламбера, равна 0. В проекции

m₃g на ось y будем иметь

Ф₃ S₃- m₃g- Ф₃ =0; S₃= m₃g+ Ф₃.

Кинетостатика

груза 3

Подставляя известные значения, получим

S₃=(5000+831 е^{- 0,312t})Н.

Максимальное значение эта сила имеет в момент времени t=0

S₃^max=5831Н.