Формирование математической модели

Пусть некоторая схема содержит (п+1), включая базисный. В схеме присутствуют источники тока, линейные проводимости и нелинейные двухполюсные резистивные элементы, управляемые напряжением, т.е. такие, токи которых являются однозначными функциями напряжения .

, (2.1)

где - ток ветви, включенной между узлами k и λ;

- напряжение ветви, включенной между узлами k и λ;

- нелинейная проводимость элемента;

- узловые напряжения;

Полагая, что в общем случае нелинейный источник тока, управляемый напряжением включен между узлами p и q.

, (2.2)

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов k, λ, p и q.

(2.3)

где G_st - проводимости линейных ветвей,

J_k,J_λ,J_P,J_q- токи независимых источников.

Сгруппировав соответствующие слагаемые, перепишем модель (2.3) в матричной форме:

(2.4)

где

Из полученного уравнения видно, что нелинейные проводимости, так же, как и проводимости линейных двухполюсников входят в матрицу проводимостей четыре раза, из них два раза с положительными знаками в собственные проводимости узлов k и λ, а два - с отрицательными во взаимные проводимости этих узлов. Нелинейная проводимость g_pq(u_ij) преобразования ПНТ, вход которого подключен к узлам i и j, авыход - к узлам р и q, также входит в матрицу проводимостей четыре раза. Два раза без инверсии знака во взаимные проводимости Y_pi и Y_qj и два раза с инверсией - в проводимости Y_PJ и Y_qi. Заметим, что линейные и нелинейные проводимости ветвей, соединяющих узел s сбазисным, входят в матрицу проводимости один раз с положительным знаком, в собственную проводимость узла Y_ss. Передаточная проводимость ПНТ, вход которого включен между узлом f и базисным, а выход - между узлом r и базисным, также входит в матрицу проводимостей один раз, без инверсии знака, в проводимость Y_rf.

При формировании вектора независимых источников I ток J_{K λ} источника, направленного от узла k к узлу λ, прибавляется к элементу λ, вектора I и вычитается из элемента k.

Для исключения сингулярности матрицы коэффициентов, имеющей место при и_{к λ} =0, выделим из матрицы коэффициентов уравнений (2.4) матрицу постоянных коэффициентов G и матрицу коэффициентов, зависящих от переменных g(U), тогда уравнения (2.4) можно переписать в виде:

G-U + Ф(U) -I= 0, (2.5)

где Ф(U) - вектор нелинейных функций

Вектор функций Ф(U)может быть получен без использования матрицы g(U),если рассматривать нелинейные элементы, как эквиваленные источники тока . В этом случае вектор функций формируется аналогично вектору I независимых источников, т.е.

.

В общем случае анализа статического режима возникает ряд трудностей:

1). кроме резистивных элементов, управляемых напряжением, схема содержит элементы, управляемые током, т.е. такие, напряжения которых являются однозначными функциями токов;

2). в схеме могут присутствовать независимые или управляемые
источники напряжения.

В первом случае резистивный элемент, управляемый током описывается уравнением

(2.6)

из которого следует

(2.7)

Функция обычно не имеет обратного преобразования с функцией в модели (2.1), поэтому значение тока в модели (2.3) остается неизвестным и для получения совместной системы уравнений к п уравнениям (2.4) добавим уравнение (2.7). С учетом очевидного соотношения i_k = - = , матрица коэффициентов увеличится на одну строку и один столбец, а векторы неизвестных и независимых источников на один элемент:

(2.8)

При наличии m таких нелинейных элементов и линейных сопротивлений матрица коэффициентов будет состоять из четырех блок-матриц:

1) матрицы узловых проводимостей Y размером п х п для элементов,
допускающих описание в форме линейной проводимости или управляемой
напряжением нелинейной проводимости;

2) диагональной матрицы R размером т х т сопротивлений
линейных элементов или управляемых током нелинейных сопротивлений;

3) матрицы инциденций А размером п х т, каждый i-ый столбец
которой содержит один или два ненулевых элемента в строках,
соответствующих узлам k и λ, (один из них может быть базисным) подключения i-го сопротивления. Причем ненулевой элемент равен «+1», если ток направлен от узла, и «-1» в противном случае;

4) транспонированной матрицы инциденций А^т.

Векторы неизвестных, независимых источников и нулевой вектор соответственно дополняются т неизвестными токами и т нулями.

Во-вторых, можно ввести дополнительную переменную – ток в ветви с источником напряжения, учесть его в уравнениях (2.4) для узлов k и λ и добавить к системе уравнений компонентное уравнение В результате матрица коэффициентов увеличивается на одну строку и один столбец, а векторы неизвестных и независимых источников - на один элемент.

(2.9)

В таблице 2.3 источника [5] приведены модифицированные системы узловых уравнений для управляемых источников, у которых матрица у-параметров не существует.