Передаточная функция. Частотные характеристики

Для проведения анализа электронных схем необходимо использовать наиболее удобные формы представления схемных функций. Рассмотрим их. В общем случае каждая схемная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной , поскольку, согласно формуле Крамера (3.2), она выражается через алгебраическое дополнение и определитель Δ матрицы эквивалентных параметров схемы. Последние составляются, в свою очередь, из параметров компонентов схемы, в том числе реактивных (конденсаторов, имеющих сопротивление Z_c=1/ рС, индуктивностей Z_L=pL). В результате:

, (3.2)

или в общем случае

. (3.3)

Здесь все коэффициенты а_i и b_i вещественны и определяются только параметрами компонентов эквивалентной схемы цепи. Выражение (3.3) можно записать в ином виде в соответствии с основной теоремой алгебры:

, (3.4)

где Н=а_п/b_т - постоянный множитель (масштабный коэффициент). Его часто опускают, предварительно пронормировав функцию;

z_I - корни числителя. Когда текущее значение р принимает значение p=z_i, функция F(p)=0, поэтому корни числителя z_i, называют нулями (zero) функции;

р_i - корни знаменателя. Когда р=р_i, функция стремится к бесконечности, поэтому р_i называют полюсами (pole) функции.

Если имеется несколько одинаковых корней числителя или знамена­теля, то их называют кратными нулями или кратными полюсами соответ­ственно, а их числом определяют порядок кратности нуля или полюса. При отсутствии кратных нулей или полюсов их называют различными или простыми.

Поскольку коэффициенты функции F(p) могут быть только дей­ствительными, она обладает свойством сопряженной симметрии. Это означает, что ее нули и полюсы на плоскости комплексной переменной могут располагаться либо на действительной оси, либо симметрично от­носительно ее, т. е. могут быть либо действительными, либо мнимыми или комплексными, но только попарно сопряженными.

Переход от функции цепи F(p) к комплексной входной или передаточной функции F(ω) ocyществляется заменой в выражении (3.3) переменной ω на jω [1].

(3.5)

Или

(3.6)

Из модели (3.5) следует, что АЧХ определяется по выражению:

(3.7)

а ФЧХ определяется по выражению:

(3.8)

Частотной характеристикой схемы называют совокупность значе­ний функции на отрезке положительной полуоси , соответ­ствующем некоторому заданному диапазону изменения частот .

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) схемы называют соответствующую совокупность значений модулей f(co) в заданном диа­пазоне изменения частот .

Фазово-частотной, или фазовой, характеристикой (ФЧХ) схемы на­зывают соответствующую совокупность значений фазовых углов в заданном диапазоне частот .

При построении графиков АЧХ и ФЧХ используется либо равномерная шкала частот, при которой ( - шаг приращения частоты), либо логарифмическая шкала, при которой очередное значение частоты определяется из рекуррентного соотношения .

При наличии индуктивностей в цепи (3.1 а) уравнения следует формировать модифицированным методом узловых напряжений или осуществить замену индуктивностей гираторами (3.1 б), нагруженными на емкость, схема замещения в этом случае имеет вид, представленный на рисунке 3.1 в [5].

а) б) в)

Рисунок 3.1 Схема замещения

Появляющийся при использовании гиратора дополнительный узел d приводит к увеличению количества уравнений на число индуктивностей.

Расчет частотных характеристик проводится согласно алгоритма, приведенного в учебном пособии П.Н. Ганского «Машинный анализ и расчет электронных схем».