Выделим из осесимметричной оболочки элемент dl 1 dl 2 двумя меридиональными и нормальными к ним коническими сечениями (рисунок 1.3).
От действия внешней нагрузки в материале стенок элемента возникают нормальные усилия U и Т, поперечные силы N, изгибающие моменты М и К. Определение перечислен-ных сил и моментов и соответствующих им напряжений составляет цель, так называемой, моментной теории,решения которой достаточно сложны и получены еще не для всех видовнагрузок и форм оболочек. Вместе с этим, как показывают исследования и расчёты, изги-бающие моменты М и К и поперечные силы N имеют существенные величины лишь в огра-
Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления
ниченной области вблизи, так называемой, линии искажения, где резко меняется один из ос-новных параметров нагруженной оболочки: форма или направление параллели и меридиана, толщина стенки оболочки, нагрузка, свойства материала и т. п. По мере удаления от линий искажения изгибающие моменты М, К и поперечные силы N быстро уменьшаются, нормаль-ные же усилия U и Т продолжают оставаться существенными. Значения этих усилий могут быть легко вычислены по безмоментной теории, предполагающей равномерное распределе-ние напряжений по толщине стенки, и допускающей, что изгибающие моменты и попереч-ные силы в сечениях равны нулю.
| Udl 2 | ||
| Kdl 1 | ||
| Ndl 2 d Ndl 2 | Mdl 2 | |
Tdl 1
Tdl 1
Ndl 2
Kdl 1
Pndl 1 dl 2
Mdl 2 d Mdl 2
P 1 dl 1 dl 2
Udl 2 d Udl 2
Рисунок 1.3 – Напряженное состояние материала тонкостенной осесимметричной оболочки
Чем меньше толщина стенки оболочки и чем дальше от линии искажения, тем ближе к истине предполагаемый закон равномерного распределения напряжений по толщине стенки и тем более точные результаты дает безмоментная теория.
При толщине стенки, не превышающей 1/20 наименьшего радиуса кривизны, погреш-ность расчёта составляет около 5 %, что обычно и допускается в инженерных расчётах.
Таким образом, учитывая наиболее существенные напряжения от действия U, Т и на-пряжения изгиба от действия М, К и N в области линий искажения (так называемый, ме-тод расчленения) можно для многих практических случаев с достаточной точностью со-ставить представление о напряженном состоянии материала на всех участках тонко-стенной оболочки.
Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления
Гипотезы, на которых основана теория упругих тонкостенных оболочек:
1. Прямые, перпендикулярные к срединной поверхности до деформации, остаются та-кими же и после деформации.
2. В плоскостях, параллельных срединной поверхности, нормальные напряжения от-сутствуют (радиальные напряжения по толщине стенки равны нулю).
Рассмотрим выделенный из осесимметричной оболочки элемент в случае отсутствия из-гибающих моментов и перерезывающих сил на его гранях (рисунок 1.4). Внешнюю нагрузку,
Udl 2
Tdl 1
| Tdl 1 | P dl dl | |||
| n | ||||
| P 1 dl 1 dl 2 | ||||
| Udl 2 | d Udl 2 |
Рисунок 1.4 – Схемы действия усилий на элемент оболочки
отнесенную к единице площади срединной по-верхности и распределенную симметрично от-носительно оси, разложим по нормали и каса-тельной к дуге меридиана и, соответственно, обозначим составляющие через Рn, Р1. К гра-ням выделенного элемента приложим внут-ренние нормальные усилия U, отнесенные к единице соответствующей дуги нормального сечения и расположенные в плоскости кривиз-ны меридиана, а также нормальные усилия Т, лежащие во второй главной плоскости кривиз-ны.
Безмоментная теория предполагает рав-номерное распределение нормальных напря-жений по толщине стенки, в связи с чем изги-бающие моменты в приведенных сечениях об-ращаются в ноль, а величины сил:
U m S dl 2, T t S dl 1, где m и
t – соответственно меридиональные и тан-
генциальные напряжения, МПа, S – толщина стенки выделенного элемента оболочки, м.
Для определения этих напряжений спроектируем на нормаль к срединной поверхности силы, действующие на элемент, zi 0 или
| d ` | d | d | |||||||||||||
| Pndl 1 dl 2 | 2 Tdl 1 | sin | Udl 2 | sin | Udl 2 | d Udl 2 | sin | 0. | |||||||
Учитывая, что dl 1 R 1 d; dl 2 R 2 d 'и заменяя ввиду малости синусы их аргументами, получим (пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка)
Pn R 1 d R 2 d ` T R 1 d d ` U R 2 d d ` 0или Pn R 1 R 2 T R 1 U R 20.
| Отсюда | U | T | pn или | m | t | pn | . | (1.1) | ||||
| R 1 | R 2 | R 2 | ||||||||||
| R 1 | S |
Полученное уравнение (1.1) носит название уравнения Лапласа. Одного этого уравнения недостаточно для определения двух функций напряжений m и t. Для получения второго
уравнения отсечем нормальным коническим сечением верхнюю часть этой оболочки (рису-
нок 1.5).
| Приравняв | осевые | составляющие | внутренних | и | внешних сил, получим | ||||
| 2 r U sin r 2 P | или с учетом соотношения r r | R | sin | ||||||
| c | n | c | |||||||
| m | Pn R 2 | . | (1.2) | ||||||
| 2 S |
Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления
Pn
U U
| R 2 | rср | ||
Рисунок 1.5 – Отсеченная часть оболочки
Выражения (1.1) и (1.2) являются основными уравнениями безмоментной теории оболо-
чек.