• Главная
• Избранное
• Популярное
• Новые добавления
• Случайная статья

Напряженное состояние материала упругих осесимметричных оболочек. Безмоментная теория оболочек

Выделим из осесимметричной оболочки элемент dl₁ dl₂ двумя меридиональными и нормальными к ним коническими сечениями (рисунок 1.3).

От действия внешней нагрузки в материале стенок элемента возникают нормальные усилия U и Т , поперечные силы N , изгибающие моменты М и К. Определение перечислен-ных сил и моментов и соответствующих им напряжений составляет цель, так называемой, моментной теории,решения которой достаточно сложны и получены еще не для всех видовнагрузок и форм оболочек. Вместе с этим, как показывают исследования и расчёты, изги-бающие моменты М и К и поперечные силы N имеют существенные величины лишь в огра-

Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления

ниченной области вблизи, так называемой, линии искажения, где резко меняется один из ос-новных параметров нагруженной оболочки: форма или направление параллели и меридиана, толщина стенки оболочки, нагрузка, свойства материала и т. п. По мере удаления от линий искажения изгибающие моменты М, К и поперечные силы N быстро уменьшаются, нормаль-ные же усилия U и Т продолжают оставаться существенными. Значения этих усилий могут быть легко вычислены по безмоментной теории, предполагающей равномерное распределе-ние напряжений по толщине стенки, и допускающей, что изгибающие моменты и попереч-ные силы в сечениях равны нулю.

Tdl₁

Tdl₁

Ndl₂

Kdl₁

P_ndl₁dl₂

Mdl₂ d Mdl₂

P₁dl₁dl₂

Udl₂ d Udl₂

Рисунок 1.3 – Напряженное состояние материала тонкостенной осесимметричной оболочки

Чем меньше толщина стенки оболочки и чем дальше от линии искажения, тем ближе к истине предполагаемый закон равномерного распределения напряжений по толщине стенки и тем более точные результаты дает безмоментная теория.

При толщине стенки, не превышающей 1/20 наименьшего радиуса кривизны, погреш-ность расчёта составляет около 5 % , что обычно и допускается в инженерных расчётах.

Таким образом, учитывая наиболее существенные напряжения от действия U, Т и на-пряжения изгиба от действия М, К и N в области линий искажения (так называемый, ме-тод расчленения) можно для многих практических случаев с достаточной точностью со-ставить представление о напряженном состоянии материала на всех участках тонко-стенной оболочки.

Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления

Гипотезы, на которых основана теория упругих тонкостенных оболочек:

1. Прямые, перпендикулярные к срединной поверхности до деформации, остаются та-кими же и после деформации.

2. В плоскостях, параллельных срединной поверхности, нормальные напряжения от-сутствуют (радиальные напряжения по толщине стенки равны нулю).

Рассмотрим выделенный из осесимметричной оболочки элемент в случае отсутствия из-гибающих моментов и перерезывающих сил на его гранях (рисунок 1.4). Внешнюю нагрузку,

Udl₂

Tdl₁

Рисунок 1.4 – Схемы действия усилий на элемент оболочки

отнесенную к единице площади срединной по-верхности и распределенную симметрично от-носительно оси, разложим по нормали и каса-тельной к дуге меридиана и, соответственно, обозначим составляющие через Р_n, Р₁. К гра-ням выделенного элемента приложим внут-ренние нормальные усилия U, отнесенные к единице соответствующей дуги нормального сечения и расположенные в плоскости кривиз-ны меридиана, а также нормальные усилия Т, лежащие во второй главной плоскости кривиз-ны.

Безмоментная теория предполагает рав-номерное распределение нормальных напря-жений по толщине стенки, в связи с чем изги-бающие моменты в приведенных сечениях об-ращаются в ноль, а величины сил:

U _m S dl₂, T _t S dl₁, где _m и

_t – соответственно меридиональные и тан-

генциальные напряжения, МПа, S – толщина стенки выделенного элемента оболочки, м.

Для определения этих напряжений спроектируем на нормаль к срединной поверхности силы, действующие на элемент, z_i 0 или

Учитывая, что dl₁ R₁d ; dl₂ R₂d 'и заменяя ввиду малости синусы их аргументами, получим (пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка)

P_n R₁ d R₂ d ` T R<sub>1</sub> d d ` U R₂ d d ` 0или P_n R₁ R₂ T R₁ U R₂0 .

Полученное уравнение (1.1) носит название уравнения Лапласа. Одного этого уравнения недостаточно для определения двух функций напряжений _m и _t . Для получения второго

уравнения отсечем нормальным коническим сечением верхнюю часть этой оболочки (рису-

нок 1.5).

Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления

P_n

_U U

Рисунок 1.5 – Отсеченная часть оболочки

Выражения (1.1) и (1.2) являются основными уравнениями безмоментной теории оболо-

чек.

Поиск по сайту: