Напряженное состояние материала упругих осесимметричных оболочек. Безмоментная теория оболочек





 

Выделим из осесимметричной оболочки элемент dl1 dl2 двумя меридиональными и нормальными к ним коническими сечениями (рисунок 1.3).

 

От действия внешней нагрузки в материале стенок элемента возникают нормальные усилия U и Т , поперечные силы N , изгибающие моменты М и К. Определение перечислен-ных сил и моментов и соответствующих им напряжений составляет цель, так называемой, моментной теории,решения которой достаточно сложны и получены еще не для всех видовнагрузок и форм оболочек. Вместе с этим, как показывают исследования и расчёты, изги-бающие моменты М и К и поперечные силы N имеют существенные величины лишь в огра-


 


Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления

ниченной области вблизи, так называемой, линии искажения, где резко меняется один из ос-новных параметров нагруженной оболочки: форма или направление параллели и меридиана, толщина стенки оболочки, нагрузка, свойства материала и т. п. По мере удаления от линий искажения изгибающие моменты М, К и поперечные силы N быстро уменьшаются, нормаль-ные же усилия U и Т продолжают оставаться существенными. Значения этих усилий могут быть легко вычислены по безмоментной теории, предполагающей равномерное распределе-ние напряжений по толщине стенки, и допускающей, что изгибающие моменты и попереч-ные силы в сечениях равны нулю.

 

  Udl2  
  Kdl1  
Ndl2 d Ndl2 Mdl2  
   

 

Tdl1


Tdl1

 

Ndl2

Kdl1

 

Pndl1dl2

Mdl2 d Mdl2

 

P1dl1dl2

 

Udl2 d Udl2


 

 

Рисунок 1.3 – Напряженное состояние материала тонкостенной осесимметричной оболочки

 

Чем меньше толщина стенки оболочки и чем дальше от линии искажения, тем ближе к истине предполагаемый закон равномерного распределения напряжений по толщине стенки и тем более точные результаты дает безмоментная теория.

 

При толщине стенки, не превышающей 1/20 наименьшего радиуса кривизны, погреш-ность расчёта составляет около 5 % , что обычно и допускается в инженерных расчётах.

 

Таким образом, учитывая наиболее существенные напряжения от действия U, Т и на-пряжения изгиба от действия М, К и N в области линий искажения (так называемый, ме-тод расчленения) можно для многих практических случаев с достаточной точностью со-ставить представление о напряженном состоянии материала на всех участках тонко-стенной оболочки.


 


Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления

Гипотезы, на которых основана теория упругих тонкостенных оболочек:

 

1. Прямые, перпендикулярные к срединной поверхности до деформации, остаются та-кими же и после деформации.

2. В плоскостях, параллельных срединной поверхности, нормальные напряжения от-сутствуют (радиальные напряжения по толщине стенки равны нулю).

Рассмотрим выделенный из осесимметричной оболочки элемент в случае отсутствия из-гибающих моментов и перерезывающих сил на его гранях (рисунок 1.4). Внешнюю нагрузку,


 

 

Udl2

Tdl1

 

Tdl1 P dl dl  
  n    
P1dl1dl2        
Udl2 d Udl2      

 

Рисунок 1.4 – Схемы действия усилий на элемент оболочки


 

отнесенную к единице площади срединной по-верхности и распределенную симметрично от-носительно оси, разложим по нормали и каса-тельной к дуге меридиана и, соответственно, обозначим составляющие через Рn, Р1. К гра-ням выделенного элемента приложим внут-ренние нормальные усилия U, отнесенные к единице соответствующей дуги нормального сечения и расположенные в плоскости кривиз-ны меридиана, а также нормальные усилия Т, лежащие во второй главной плоскости кривиз-ны.

Безмоментная теория предполагает рав-номерное распределение нормальных напря-жений по толщине стенки, в связи с чем изги-бающие моменты в приведенных сечениях об-ращаются в ноль, а величины сил:

 

U m S dl2, T t S dl1, где m и

 

t – соответственно меридиональные и тан-


 

генциальные напряжения, МПа, S – толщина стенки выделенного элемента оболочки, м.

 

Для определения этих напряжений спроектируем на нормаль к срединной поверхности силы, действующие на элемент, zi 0 или

 

      d `     d       d    
Pndl1dl2 2 Tdl1 sin     Udl2 sin     Udl2 d Udl2 sin     0.  
 
                         

 

Учитывая, что dl1 R1d ; dl2 R2d 'и заменяя ввиду малости синусы их аргументами, получим (пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка)

 

Pn R1 d R2 d ` T R1 d d ` U R2 d d ` 0или Pn R1 R2 T R1 U R20 .

 

Отсюда U   T pn или m   t   pn . (1.1)  
R1 R2   R2    
      R1   S    

 

Полученное уравнение (1.1) носит название уравнения Лапласа. Одного этого уравнения недостаточно для определения двух функций напряжений m и t . Для получения второго

уравнения отсечем нормальным коническим сечением верхнюю часть этой оболочки (рису-

 

нок 1.5).

Приравняв осевые составляющие внутренних и внешних сил, получим  
2 r U sin r2 P или с учетом соотношения r r R sin  
c n         c    
      m   Pn R2 .   (1.2)  
         
        2 S      

 

 


Расчёт и конструирование машин и аппаратов пищевых производств. Элементы теории и сборник задач Расчёт сосудов работающих под действием внутреннего избыточного давления

 

 

Pn

U U

 

  R2 rср  
     
     

 

Рисунок 1.5 – Отсеченная часть оболочки

 

Выражения (1.1) и (1.2) являются основными уравнениями безмоментной теории оболо-

 

чек.

 





Читайте также:
Задачи и функции аптечной организации: Аптеки классифицируют на обслуживающие население; они могут быть...
Тест мотивационная готовность к школьному обучению Л.А. Венгера: Выявление уровня сформированности внутренней...
Этапы развития человечества: В последние годы определенную известность приобрели попытки...
Что такое филология и зачем ею занимаются?: Слово «филология» состоит из двух греческих корней...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.015 с.