Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Определители 2-го и 3-го порядков». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.
☺ ☻ ☺
Пример 1 – 2: Вычислить определитель: 
= 
.
Решение:
1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d = 
= 
.
2). В нашем случае: d =1·4 – 2·3 = –2.
Ответ: d = –2.
Пример 2–5: Вычислить определитель: = 
.
Решение:
1). Воспользуемся свойством определителя: если строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
2). В нашем случае: 
.
Ответ: d =0.
Пример 3–8: Вычислить определитель: = 
.
Решение:
1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d = = .
2). В нашем случае: d = 
· 
– 
· = 
=–2 
.
Ответ: d =0.
Пример 4 – 10: Вычислить определитель: = 
.
Решение:
1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d = = .
2). В нашем случае: d = 
– 
= 
.
Ответ: d = .
Пример 5 – 14: Вычислить определитель 2-го порядка: d = 
.
Решение:
1). Можно было бы сразу раскрывать определитель по общей формуле, но наличие общих множителей в обеих строках (столбцах) позволяет предварительно упростить запись определителя вынесением этих множителей за знак определителя.
2). Результат упрощений: d = 
· 
= ·d 1: вынесением общего множителя 
из 1-й и 2-й строк получили для вычисления значительно более простую форму – определитель d 1!
3). Вычислим: 
= 
= 
, тогда, очевидно, d =1.
Ответ: d =1.
Пример 6 – 18: Вычислить определитель: 
.
Решение:
1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d = = .
2). В нашем примере: d = 
= 
. Учтено: 
.
Ответ: .
Пример 7 – 20: Вычислить определитель: = 
.
Решение:
1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d = = .
2). В нашем примере: d = 
–1·1 = 0. Учтено: .
Ответ: d =0.
Пример 8 – 22: Решить систему уравнений: 
по правилу Крамера.
Решение:
1). Составим определитель системы: d = 
и определители: 
= 
, заменяя 1-й столбец определителя d столбцом 
правой части; 
= 
, заменяя 2-й столбец определителя d столбцом правой части.
2). Вычислили: d =–1, =–3, =1.
3). Применяя правило Крамера, получим: x = 
=3; y = 
=–1.
Ответ: x =3; y =–1.
Пример 9 – 26: Решить систему уравнений: 
по правилу Крамера.
Решение:
1). Составим определитель системы: d = 
, заменяя 1-й столбец определителя d столбцом 
правой части, получаем: = 
, заменяя 2-й столбец определителя d столбцом правой части, получаем: = 
.
2). Вычислили: d =1, = 
, = 
.
3). Применяя правило Крамера, получим: x = = ; y = = .
Ответ: x =16; y =7.
Пример 10 – 28: Исследовать систему уравнений: 
используя теоретические результаты, полученные в § 1.
Решение:
1). Составим определитель системы: d = 
=0 и определители: = 
=0, заменяя 1-й столбец определителя d столбцом 
правой части; = 
=0. заменяя 2-й столбец определителя d столбцом правой части. Следует: решений бесчисленное множество → система неопределённая.
2). Можно было сразу увидеть: 
→ имеем одно уравнение: 
с двумя неизвестными.
3). Геометрически: векторы нормалей прямых: 
=(4,6) и 
=(6,9) параллельны. Легко проверить, что точка: (–1,1) принадлежит обеим прямым → прямые совпадают!
Ответ: при d ≠ 0 система уравнений единственное решение; при d = 0 их бесчисленное множество.
Пример 11 – 30: Решить уравнение: x = 
по правилу Крамера.
Решение:
1). Учтём, что линейное уравнение с одной неизвестной – это частный случай систем уравнений. Поэтому: d = , = .
2). Тогда запишем: x = = 
, которое верно при ≠0, то есть 
. В этом случае имеем единственное решение.
3). Если =0, то решений нет при = ≠0, так как равенство x · d = невозможно ни при каком x. Если =0 и =0, то решением является любое число.
Ответ: полное исследование: в тексте.
Пример 12 – 40: Доказать, что квадратный трёхчлен с комплексными коэффициентами тогда, и только тогда, будет полным квадратом, если: 
=0.
Решение:
1). Учтём, что линейное уравнение с одной неизвестной – это частный случай систем уравнений. Поэтому: d = , = .
2). Тогда запишем: x = = , которое верно при ≠0, то есть . В этом случае имеем единственное решение.
3). Если =0, то решений нет при = ≠0, так как равенство x · d = невозможно ни при каком x. Если =0 и =0, то решением является любое число.
Ответ: полное исследование: в тексте.
Пример 13 – 43: Вычислить определитель: = 
.
Решение:
Вычислим определитель несколькими способами:
Способ 1. В соответствии с определением определителя 3-го порядка:
=40.
Способ 2. В соответствии со свойством 9 можно вычислить определитель 3-го порядка разложением по любой строке или любому столбцу. Запишем разложение по 1-й строке:
=40.
Способ 3. Используя все необходимые свойства определителя, преобразуем его до простейшего вида: в одной из строк, или в одном из столбцов заменяем все элементы, кроме одного, нулями:
d = (1) = 
= (2) = 
= (3) = 
= (4) =40.
Операции: (1): [R2] – [R3]; [R3] – [R1]. (2): [R1] +[R2]·3. (3): применяем разложение определителя по столбцу-3. (4): завершаем вычисление.
Замечание: обозначено: C – столбец; R – строка определителя.
Ответ: d = 40.
Пример 14 – 46: Вычислить определитель: = 
.
Решение:
Применим для вычисления определителя Способ 3: этот способ допускает в широком диапазоне импровизации. При использовании этого способа не следует заранее прицеливаться к определённой строке (столбцу) для получения в ней многих нулей! Нужно за счёт операций со строками и столбцами добиться максимальной простоты чисел-элементов определителя. В некоторый момент всё становится очевидным!
d = (1) = 
= (2) = 
= (3) =–5.
Операции: (1): [C3] + [C2]·2. (2): применяем разложение определителя по столбцу-3. (3): завершаем вычисление.
Ответ: d =–5.
Пример 15 – 56: Вычислить определитель: = 
.
Решение:
Применим способ-3 преобразования и вычисления определителя:
= (1) =(a + b + c)· 
= (2) =(a + b + c)· 
= (3) = 
.
Операции: (1): [R1]+[R2]+[R3]; выносим общий множитель за знак определителя. (2): [C3] – [C1]; [RC]–[RC]. (3): применяем разложение определителя по строке-1 и завершаем вычисление.
Ответ: d = .
Пример 16 – 60: Вычислить определитель: = 
.
Решение:
1) Применим свойство определителя:
d = 
= d 1+ d 2.
2) В нашем случае: = 
+ 
= d 1+ d 2. Вычисление определителя d 1 достаточно просто: d 1 = 
. Вычисление определителя d 2 выполним способом 3:
= (1) = 
= (2) = 
→ = 
.
Операции: (1): [C3] –[C1]; [C2] –[C1]. (2): учитываем, что получен определитель треугольного вида, завершаем вычисление.
Ответ: d = .
Пример 17 – 65: Показать, что определитель: = 
и два других определителя, полученных из данного круговой перестановкой элементов 
и 
, равны нулю, если – длины сторон треугольника и – его углы, противолежащие соответствующим сторонам .
Решение:
1) Применим свойство определителя:
d = 
+ 
+ 
+ 
Это значит, что можно от вычисления одного громоздкого определителя перейти к вычислению трёх простых определителей: d == d 1+ d 2+ d 3.
2) В нашем случае: d 1 = 
= 
= 
;
d 2 = 
=– 
= 
;
d 3 = 
= 
= 
.
3) Тогда получаем: d = d 1+ d 2+ d 3 = 
. Учитываем известную теорему косинусов для треугольника со сторонами и углами , противолежащими этим сторонам. Для стороны a: 
, для стороны b: 
, для стороны c: 
. Используя эти равенства, получаем: d =0 как для исходного определителя, так и для получаемых из него циклической перестановкой соответствующих сторон и углов треугольника!
Ответ: d =0: доказано.
Пример 18 – 66: Вычислить определитель: 
.
Решение:
1) Преобразуем определитель к форме, удобной для разложения по строке или по столбцу:
d = (1) = 
= (2) = 
= (3) =–2.
Операции: (1): [C3] – [C1]; вынесем общий множитель столбца-3 за знак определителя. (2): [C3] – [C1]; [C3] – [C2]. (3): завершаем вычисление для определителя треугольного вида.
Ответ: d = –2.
Пример 19 – 74: Решить систему уравнений: 
пользуясь формулами Крамера.
Решение:
1) Системе уравнений соответствуют: матрица системы A и расширенная матрица 
:
A = 
, = 
.
2) Формулы Крамера в общем виде: 
, 
, 
. Вычислим все величины, входящие в эти формулы, для заданной системы уравнений:
d = 
=1, = 
=3, = 
=–2, 
= 
=2.
3) Вычислим неизвестные: 
, 
, 
→ решение заданной системы уравнений.
Ответ: , , .
Пример 20–82: Имеем систему уравнений: 
Установить: является эта система совместной или несовместной. Если система совместна, найти её решение.
Решение:
1) Системе уравнений соответствуют: матрица системы A и расширенная матрица :
A = 
, = 
.
2) Вычислим все величины, входящие в формулы 
, 
, 
:
d = 
=0, = =0, = 
=0, = 
=0.
3) Так как 
и =0, =0, =0, то система неопределённая: имеет бесчисленное множество решений. Воспользуемся геометрической иллюстрацией: 
=(2,–3,1), 
=(3,–5,5), 
=(5,–8,6) 
– компланарны, но плоскости α 1, α 2, α 3 различны: линии их пересечения совпадают (пучок плоскостей!); общие точки трех плоскостей: общая линия пересечения. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений, говорят – система неопределенна.
Для исследования соответствия геометрического образа и системы коэффициентов матрицы 
воспользуемся 4-мерными векторами: 
, 
, 
.
В этом случае векторы 
, 
, 
– линейно зависимы, причём так, что один из них является линейной комбинацией двух других: это следует из уравнения пучка плоскостей! Это значит, что фактически система состоит из двух уравнений, и одной из переменных можно присваивать произвольные значения!
Ответ: система несовместна.
Пример 21 – 111: Доказать тождество: d = 
= 
, не применяя вычислений правой и левой частей тождества.
Решение:
1) Выполним Операции: [C3] – [C1]· x – [C2]· y → получено d = .
2) Тождество доказано!
Ответ: доказано: см. текст.
Пример 22 – 115: Доказать тождество: d = 
= 
, не применяя вычислений правой и левой частей тождества.
Решение:
1) Выполним Операции: [R3] – [R1]; [R2] – [R1] → получено d = 
. Вынося общие множители строк, получаем: d = 
· 
= .
2) Тождество доказано!
Ответ: доказано: см. текст.
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Может ли определитель 2-го порядка не быть числом?
2. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строки заменить столбцами и наоборот (проверьте!)?
3. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?
4. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?
5. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?
6. Изменится ли определитель 2-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?
7. Может ли определитель 3-го порядка не быть числом?
8. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки заменить столбцами и наоборот (проверьте!)?
9. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами (проверьте!)?
10. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку (проверьте!)?
11. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец (проверьте!)?
12. Изменится ли определитель 3-го порядка, если в нем строку умножить на число 2 (проверьте!)?
13. Существует ли определитель для матрицы 
?
< * * * * * >