| Интегралы II рода
|
|
Криволинейные интегралы по координатам
| Поверхностные интегралы по координатам
|
|
|
|
|
| Разобьем
|
|
|
|
M iÎD l i
| Выберем произвольно точки M i, i =1¸ n
| MiÎDsi
|
– сила в точке Мi дуги D li
| – скорость в точке Мi на поверхности Dsi
|
– скалярное произведение силы в точке Мi на вектор
| Просуммируем элементы работы D Еi и
элементы потока жидкости D Пi
| -скалярное произведение скорости на единичный вектор нормали в точке Мi ,, умноженное на элемент поверхности Dsi
|
– интегральная сумма для криволинейного интеграла по координатам
| – интегральная сумма для поверхностного интеграла по координатам
|
max Dli ® 0
| Перейдем к пределу n®¥
| max diam Dsi ® 0
|
Е – работа силы по перемещению точки из А в В по дуге АВ
|
П – поток жидкости через выбранную сторону поверхности s
|
| | | | | | |
Вычисление криволинейных (по длине дуги) и поверхностных (по площади поверхности) интегралов I рода
| Элемент деления
|
|
Элемент деления дуги кривой:
| Поверхность
Элемент деления поверхности:
|
| Приближенное значение элемента деления
|
|
|
|
| Вычисление
|
|
|
|
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), нужно привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования;
2) заменить элемент дуги dl корнем квадратным из суммы квадратов производных x,y,z по t, умноженным на dt;
3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.
| Правило
|
Чтобы вычислить поверхностный интеграл по площади поверхности (I рода), нужно привести его к двойному интегралу:
1) в подынтегральную функцию вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности;
2) элемент поверхности ds заменить дифференциальным выражением ;
3) вычислить полученный двойной интеграл по области D – проекции поверхности s на плоскость xoy.
|
|
|
| | | | | | | |
Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов II рода (по координатам)
| Элемент деления
|
|
На кривой АВ:
| На поверхности
|
Интеграл меняет знак при изменении направления интегрирования
| Основное свойство
| Интеграл меняет знак при изменении выбора стороны поверхности
|
Работа E вектора силы по перемещению материальной точки из А в В:
| Вычисление
| Поток П векторного поля через поверхность :
|
|
|
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к определенному интегралу:
1) в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования;
2) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.
| Правило
| Чтобы вычислить поверхностный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к двойному интегралу:
1) выбрать знак +, если угол g между нормалями к поверхности и осью OZ острый, и знак -, если угол g – тупой;
2) вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности;
3) элемент поверхности ds заменить дифференциальным выражением ;
4) вычислить полученный двойной интеграл по области Dxy – проекции поверхности s на плоскость xoy.
|
|
|
| | | | | | | |
|
| Множество Ω, на котором определена и непрерывна подынтегральная функция
| |
Поверхностный интеграл I рода
| |
Поверхностный интеграл II рода
| |
ИНТЕГРАЛЫ
Элементы теории поля