Интегрирование иррациональностей

	Подынтегральная функция	Подстановка	Итог
	R – рациональная функция, целые числа	, где ─ наименьшее общее кратное знаменателей показателей:	Рациональная функция
			Рациональная функция
	Дифференциальный бином   по теореме Пафнутия Львовича Чебышева интегрируется в элементарных функциях только в трёх случаях:	p ─ целое число, m,n ─ дроби		Рациональная функция
			См. пункт
			Два табл-х инт-ла

При нахождении первообразной функции можно пользоваться следующим алгоритмом:

1. Попытаться найти первообразную непосредственным интегрированием или подведением подходящей функции под знак дифференциала. Если это не удается, то

2. Определить класс подынтегральной функции (рац. дробь, тригонометрическая, иррациональная) и применить соответствующие подстановки, а если функция смешанных классов – интегрирование по частям.

Несобственные интегралы (н.и.)

	I рода (по бесконечному промежутку)	II рода (от неограниченной на промежутке интегрирования функции)
Определение н.и.
Определение сходимости н.и.	Несобственный интеграл сходится, если существуют конечные пределыв правых частях равенств, определяющих эти интегралы. Если эти пределы бесконечны или не существуют, то несобственный интеграл расходится.
Признаки сходимости н.и.
Сходимость       Расходимость	Сходимость   Расходимость
Несобственные интегралы от функций ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся
Эталонные н.и.

Приложения определенного интеграла

Теорема. Если величина Q обладает на [ a,b ]

1. свойством аддитивности, а именно, если a = x₀ £ x₁ £ x₂ £…£ x_n = b,

то Q=DQ₁+DQ₂+…+DQ_n, где D Q_i – значение Q на [ x_i-1,x_i ], i=1,2,…n;

2. свойством линейности Q в малом: D Q » f(x)D x, где f (x) – интегрируемая на [a,b ]функция,

то величину Q можно найти интегралом от её элемента dQ = f (x) dx по промежутку [ a,b ]:

Q	№	Чертеж	Система координат и пояснения	Формула	Q
S, п л ощ а д ь   п л о с к о й   ф и г у р ы   D			Д. С. К. Одна кривая границы области D не выше другой.		S, п л о щ а д ь   п л о с к о й   ф и г у р ы   D
		Д. С. К. Одна кривая границы области D не левее другой.
		Д. С. К. a £ t £ b x (a) =a, x (b) =b (y(t) ³0, " tÎ [a,b ]) Верхняя граница области задана параметрически
	β α ρ2(φ) ρ1(φ)	П. С. К.
, д л и н а   к р и в о й   L			Д. С. К.		, д л и н а   к р и в о й   L
	Д. С. К.
		Д. С. К. Линия L задана параметрически
	ρ(φ) α   β	П. С. К.

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Q	№	Чертеж	Система координат и пояснения	Формула	Q
V, о б ъ е м   т е л а   Т			Д. С. К.		V, о б ъ е м   т е л а   Т
		Д. С. К. Тело Т образовано вращением кривой у=f (х) вокруг оси 0 Х
s, п л ощ а д ь   п о в е р х н. ω			Д. С. К. Поверхность v образована вращением кривой у=f (х) вокруг оси 0 Х		s, п л о щ а д ь   п о в е р х н. w
Д. С. К. Поверхность v образована вращением кривой у=f (х (t)), заданной параметрически, вокруг оси 0 Х
S, п у т ь			Д. С. К. V – скорость прямолинейного движения тела на промежутке времени [ t1,t2 ]		S, п у т ь
А, р а б о т а			Д. С. К. Сила F направлена параллельно оси 0 Х на промежутке [ a,b ]		А, р а б о т а
Р,д а в л			Д. С. К. m – плотность жидкости, давящей на пластину D		Р, д а в л.
m,м а с с а			Д. С. К. m – линейная плотность кривой L		m,м а с с а

Статические моменты относительно координатных осей S_{x ,} S_{y ,,} моменты инерции М_х,, М_у, координаты центра тяжести х_с, у_с плоской кривой

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (фнп)

Определениечастной производной. Если в точке М (х, у) существует предел отношения частного приращения ФНП z = f (x,y) по одному из ее аргументов к приращению этого аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то этот предел называется частной производной ФНП по этому аргументу в точке М (х, у): ; . Правило.Чтобы найти частную производную ФНП по одному из ее аргументов, надо все остальные аргументы ФНП считать постоянными и применять правила дифференцирования и таблицу производных функции одного аргумента, по которому берется частная производная	Градиент функции : Градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.	Экстремум функции двух переменных 1. Необходимое условие существования экстремума. Если функция f (x,y) имеет в точке М0 (х0,у0) экстремум и имеет в точке М0 частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т. е. . 2. Достаточные условия существования экстремума. Пусть . Тогда а) если D> 0, то в точке М0 функция имеет экстремум, причем при – локальный максимум, при – локальный минимум; б) если D<0, то в точке М0 экстремума нет; в) если D=0, то требуются дополнительные исследования.
Производная по направлению Вектор направления ; Орт направления: ; Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на орт направления:
Производные сложных функций ; u, v – промежуточные аргументы, x,.y – основные аргументы.	Уравнение касательной плоскостик поверхности F (x,y,z) =0 в точке М0 (х0,у0,z0) Скалярное произведение , или	Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области 1. Найти точки, принадлежащие области, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Вычислить значения функции в этих точках. 2. Заменить одну из независимых переменных из уравнения границы области и найти наибольшее и наименьшее значения получившейся функции одного аргумента на отрезке изменения этого аргумента: вычислить значения функции в критических точках первого порядка и на концах отрезка. 3. Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Производные неявно заданных функций F (x,y,z) = 0, Û z = f (x,y). .	Уравнение нормалик поверхности F (x,y,z) =0 в точке М0 (х0,у0,z0)   векторное произведение , или
Полный дифференциал ФНП . Полный дифференциал ФНП равен сумме ее частных дифференциалов: .

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Интегралы от скалярной функции

	Определенный	Двойной	Тройной	Криволинейный I рода	Поверхностный I рода
W	M Î R 1 W:{" x Î[ a,b ]} отрезок оси О Х	M Î R 2 W-область D в плоскости X O Y S-площадь D	M Î R 3 W – область трехмерного пространства. V -некоторый объем.	M Î R 3 W-дуга кривой l в R 3	M Î R 3 W-часть поверхности s в R 3
D W М i	DW=Dx M i=xiÎD x i	DW=D S =D x D y M i(xi,hi)Î∆ S i	DW=DV=DxDyDz M i(xi,hi,zi)Î∆ Vi	DW=D l- элемент дуги кривой M i(xi,hi,zi)ÎD li	DW=Ds-элемент поверхности M i(xi,hi,zi)ÎDsi
Определение, обозначение инт-ла
Геометрический и физический смысл.	S – площадь криволинейной трапеции	Уравнение поверхности: z = f(x,y) D Mi(xi,hi)	f (x,y,z) – плотность в т. М тела V m телаV	f (x,y,z) – плотность в т. М кривой l = m кривой l	s f (x,y,z) – плотность в т. М поверхности s =mповерхности f (x,y,z)=1Þ