С угловым коэффициентом
Поверхности второго порядка
|
|
|
|
a³0
Уравнение прямой L
в отрезках
y= 0 Þ x=a
x= 0 Þ y=b
Уравнение прямой L
каноническое
l =(m, n)
l =(m, n) çç L
M 1(x 1, y 1)Î L
" M (x, y)Î L
Уравнение прямой L,
проходящей через две данные точки M 1 и M 2
l =(m, n) çç L
M 1(x 1, , y 1)Î L
M 2(x 2, y 2)Î L
" M (x, y)Î L
m=x 2– x 1, n = y 2-– y 1
.
Уравнения прямой L
параметрические
" t Î R 1 – параметр
r = (x, y, z)
r 1 = (x 1, , y 1, z 1)
M 1(x 1, , y 1, z 1)Î P
" M (x, y, z) Î P
Уравнение плоскости P в отрезках
Уравнение плоскости P,
проходящей через три данные точки
ì A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1=0 î A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0.
Общееуравнение прямой L
N 1=(A 1, B 1, C 1)
N 2=(A 2, B 2, C 2) N 1çç N 2
L ={ P 1Ç P 2}
l çç L, l =(m,n, p)=[ N 1, N 2]
Уравнения прямой L
канонические
l çç L, l =(m, n, p)
M 1(x 1, y 1, z 1)Î L
"M(x, y, z)Î L
Уравнение прямой L,
проходящей через две данные точки M 1 и M 2
Параметрические уравненияпрямой L
" t Î R 1
N =(A, B, C)
r = (x, y, z)
r 1 = (x 1, y 1, z 1)
M 1(x 1, y 1, z 1)Î P
" M (x, y, z) Î P
A(x-x 1)+ B (y-y 1)+ C (z-z 1)=0
y= 0 Þ x=a
x= 0 Þ y=b
l =(m,n,p)
l=(m,n,p)ïï L
M 1(x 1, y 1, z 1)Î L
M 2(x 2, y 2, z 2)Î L
"M(x, y, z)Î L
" t Î R 1
N 1=(A 1, B 1, C 1)
N 2=(A 2, B 2, C 2) N 1çç N 2
L ={ P 1Ç P 2}
.
ì A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1=0,
î A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0.
N 1 çç N 2 Û P 1Ç P 2 Û Rang 
y = kx + b 
Общие(2.IV)
Þ z0=0
Þ M 0(x 0, y 0,0)Î L
или 
Þ y1=0 Þ M 1(x 1,0, z 1)Î L
или 
Þ x 2=0 Þ M 2(0, y 2,z2)Î L
N 1=(A 1, B 1, C 1),ü
N 2=(A 2, B 2 ,C 2) þ Û l =[ N 1, N 2]=(m,n,p)
– канонические (2.I)
-
ì x-x 0+ mt,
í y-y 0+ nt, – параметрические(2.II)
î z =0+ pt
ß
– через две
точки M 0Î L, M 1Î L (2.III)
– общие(2.IV)
ß
ì x = x 1, y=kx 1+ b = y 1 Þ M 1(x 1, y 1)Î L,
î x = x 2, y=kx 2+ b = y 2 Þ M 2(x 2, y 2)Î L.
через точки M 1Î L и M 2Î L
(1. III) (2.III)
Þ 
N 1=(A 1, B 1, C 1);
N 2=(A 2, B 2,C2)
N 1=(A 1, B 1, C 1); N 2=(A 2, B 2, C 2)
R2
N1=(A1,B1);N2=(A2,B2)
б) L 1: y=k 1x+ b 1
L 2: y=k 2x+ b 2
tg j = 
ß
k 1= tg a1; k 2= tg a2
tg j =tg (a2 – a1) = 
¹±1
P 1^ P 2 Û N1^N2 Û cos j=0
{ P 1Ç P 2}= L, L Î P 1, L Î P 2
Rang A (y)=
= Rang B (y)= 2 < 3= n
совместная неопределенная система (y)
N1ïï N2
j ¹ p k,
k =0, ±1, ±2,...
L 1^ L 2Û N 1^ N 2 Û cos j = 0
б) tg j= 
¹0
1+ k 1 k 2 ¹ 0
L 1^ L 2 Û1+ k 1 k 2 =0 Û
Û k 2= -1/ k 1
{ L 1Ç L 2}= M, M Î L 1, M Î L 2
Rang A (c)=
= Rang B (c)= 2= n
совместная определенная система (c)
cos j = ±1
N 1 =lN 2; D 1¹ lD 2
l Î R 1
1= Rang A (y,c) <
< Rang B (y,c) = 2
системы (y),(c) несовместны
cos j = ±1
б) k 1 = k 2; b 1 ¹ b 2
tg j = 0
cosj = ±1
N 1= lN 2; D 1 = lD 2; l Î R 1
Rang A (y,c)=
= Rang B (y,c)= 1
совместные неопределенные системы (y), (c)
cosj = ±1
б) k 1 = k 2, b 1 = b 2
tgj = 0
векторная форма
Ü
Þ
Ü
h – высота треугольника
(d(L 1, L 2)=0Û L 1Ç L 2);П(М 1 М 2, l 1 ,l 2) –параллелепипед, построенный на векторах М 1 М 2, l 1 ,l 2,, h – его высота
M 0(x 0, y 0, z 0) Î L
sin j = 0 Û L ^ P, l ïï N
(2.II) Þ 
Уравнение плоскости в отрезках;
Rang A = r = n –1
n = r + 1
AX=B
АХ 1 = 0 АХ 2 = 0 АХ к = 0, k=n–r.
АС=В
АХ=В
Уравнение прямых в отрезках
AX=A (X0+C)=
= AX 0+ AC= O+ B=B
Прямая в Rn=Rr + 1 n = r+ 1, k = 1
параметрические уравнения,
a 1 – параметр, свободная неизвестная
– канонические уравнения
