Нестандартные виды финансовых рент (аннуитетов)

Бессрочный аннуитет

Аннуитет (рента) называется бессрочной, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это означает, что

Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли – выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производятся регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В западной практике к бессрочным аннуитетам относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет называется также вечной рентой.

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости) лишена смысла, однако обратная задача – определение приведенной стоимости – имеет решение.

Современная величина вечной ренты определяется просто. Математически при , тогда (1.40)

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зависит только от размера члена ренты и % ставки. Из формулы (1.40) следует, что:

(1.41),

т.е. член вечной ренты = % от ее капитализированной стоимости.

Под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Различие между рентами пренумерандо и постнумерандо заключается в числе периодов начисления %. Легко понять, что каждый член последней из указанных рента «работает» на один период больше, чем в ренте постнумерандо. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее как , больше в (1+r) раз аналогичной ренты постнумерандо.

(1.25);

Точно такая же зависимость наблюдается и между современными стоимостями рент постнумерандо и пренумерандо.

(1.29); (1.30). Ясно, что .

Важным частным случаем является рента с платежами в середине периодов. Например, в случаях, когда поступления от производственных инвестиций распределяются более или менее равномерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо может привести к некоторым смещениям в значении получаемых показателей. Тогда для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступлений относить к середине периодов. Наращенные суммы и современные стоимости таких рент находим умножением обобщающих характеристик рент постнумерандо на множитель наращения за половину периода. Так, для современных стоимостей находим:

P=1; m=1; (1.34); р=1; m>1 (1.35);

p>1; m=1; (1.36); p>1; m>1 (1.37)

Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени (т.е. 1-й из потока платежей начинает поступать спустя h периодов). Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело современная стоимость ренты. Пусть рента выплачивается спустя h периодов после некоторого начального момента времени.

Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна . Современная стоимость на начало периода отсрочки, равного h лет = дисконтированной величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты:

(1.38)

Пример. Рента постнумерандо характеризуется след параметрами: R=4 млн руб, n=5. При дисконтировании по сложной ставке %, равной 18,5% годовых, получим:

млн руб Таким образом, все будущие платежи оцениваются в наст момент в сумме 12,368 млн руб. Иначе говоря, 12,368 млн руб, размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн руб в течение 5 лет. Теперь предположим, что рента выплачивается не сразу, а спустя 1,5 года после момента оценки. Современная стоимость отложенной ренты составит в этом случае:

млн руб

Если же h, т.е. число периодов отсрочки, целое число, тогда возможен вариант:

(1.39)

т.е. приведенная стоимость отсроченного аннуитета представляет собой разность приведенных стоимостей аннуитетов с платежами, начиная с 1-го периода. При h=0 аннуитет становится немедленным.

Пример с изменяющейся величиной ар платы (для отложенного аннуит).

Сдан участок в аренду на 10 лет. Ар плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые 6 лет по 10 тыс руб., в оставшиеся четыре года по 11 тыс руб. требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если % ставка, используемая аналитиком, равна 15%.

Решить данную задачу можно несколькими путями в зависимости от того, какие аннуитеты будут выделены аналитиком. Общая схема потока представлена выше. Естественно, приведенная стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала 1-го временного интервала.

А) исходный поток можно представить как сумму 2-х рент: первый имеет R=10 и продолжается 10 лет; второй (отсроченный на 6 лет) имеет R=1 и продолжается 6 лет. По форм м оценить приведенную стоимость каждого аннуитета. Однако 2-й аннуитет в этом случае будет оценен с позиций 7-го года, поэтому получ сумму необх дисконтировать к началу 1-го года. В этом случае оценки 2-х рент будут приведены к одному моменту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости исходного ден потока:

=10*FM4(15%;10)+1*FM4(15%;4)*FM2 (15%;6) = 10*5,0188+1*2,8550*0,4323 = 51,422 тыс р.

Б) исходный поток можно представить как разность 2-х рент: первая имеет R=11 и продолжается 10 лет; второй имеет R=1 и, начавшись в 1-м году, заканчивается в 6-м. в этом случае расчет выглядит так:

= 11*FM4(15%;10)-1*FM4(15%;6) = 11*5,0188-1*3,7845 = 51,422 тыс руб.

Наращение аннуитетов