4.1. Пояснительная записка. Общая характеристика учебного предмета
Обучение математике занимает одно из центральных мест в образовательной программе школы. Его задачи чрезвычайно многообразны. Это и формирование, развитие целостной природы ребенка, его интеллектуальных, эмоциональных и волевых качеств, его памяти, и овладение системой математических знаний и умений, необходимых как для повседневной жизни, так и для изучения других предметов, и, наконец, выработка представлений об идеях и методах математики как науки и их роли в научной деятельности человека.
Преподавание математики, в соответствии с общей концепцией вальдорфской школы, никогда не ограничивается только воздействием на интеллектуальную сферу учеников. Элементарная математическая деятельность опирается на здоровую структуру человеческих восприятий, прежде всего на чувство ритма (арифметика), на чувство равновесия и на чувство формы (геометрия). В связи с этим обучение, особенно в начальной школе, подкрепляется глубокой проработкой ритмической структуры детского существа (ритмический счет, таблица умножения “в действии”, счет на несколько голосов – “каноном” и т.д.) и чувства формы, для чего в начальной школе вводится специальный предмет – рисование форм (см. отдельную программу).
Преподавая математику, следует учитывать ее воздействие на эмоциональную сферу ребенка. С одной стороны, учитель стремится к тому, чтобы условия задач вытекали из общего контекста урока, чтобы их решение сообщало ученикам дополнительные новые сведения, а не просто являлось бы формальным выполнением некоторого количества математических операций. Таким образом, учителю необходимо устанавливать глубокие межпредметные связи между математикой и такими предметами как краеведение, история, естествознание, самостоятельного составлять упражнения и задачи. С другой стороны, учителю важно обращать внимание на структуру задания, на его композицию, внутреннюю завершенность, объединение в одном задании различных тем и разделов, на стиль оформления. И, наконец, учитель должен стремиться к тому, чтобы ученики пережили внутреннюю красоту математики как предмета, логику построения курса, гармонию, царящую в мире чисел, математических операций, геометрических построений, ясность и четкость, царящие в ней, чтобы в них возникло чувство удовлетворения, сопровождающее удачно найденное решение или корректно проведенное доказательство. Недооценка значимости этих факторов может привести к тому, что математика будет воспринята школьниками как “сухая”, утомительная, если не сказать скучная и однообразная дисциплина.
Учителю следует осознавать многообразное воздействие математики на духовно-интеллектуальную сферу деятельности человека. В этой связи преподавание математики в школе призвано, наряду с другими предметами, внести свой вклад в развитие памяти (1-3 классы), способности к анализу, четкому выражению мысли, подробному описанию сделанного (4 класс).
При выборе конкретного содержания и методики преподавания следует исходить не только из логики предмета, но и из уровня духовно-душевного развития класса, из психо-физиологических особенностей конкретного возраста, вопросов, возникающих в тот или иной момент жизни в душе ученика. При этом материал распределен по учебным годам таким образом, чтобы к концу 4-го класса данная программа соответствовала уровню государственных стандартов.
Преподавание математики сочетает в себе учебные эпохи и еженедельные (тренировочные) уроки. Такой подход позволяет концентрированно рассматривать законченные разделы, постепенно подводя учащихся к пониманию, освоению и закреплению пройденного. При этом учителю не приходится искусственно дробить материал на небольшие темы, устанавливая затем им же самим нарушенные связи. При эпохальном преподавании педагог имеет возможность, в большей мере, чем обычно, исходить из целого. – Еще одно естественное следствие эпохальной технологии – отказ от "постепенности", когда те или иные понятия вводятся загодя и служат только техническим целям. Вместо этого в данной программе предлагается вводить темы компактно, в тот момент, когда это обосновано уровнем развития учеников и логикой развития предмета.
4.2. Содержание курса, характеристика деятельности учителя, основные виды учебной деятельности учащихся
1 класс
Первой математической дисциплиной в начальных классах становится арифметика. При обучении следует углубить переживание числовых понятий с помощью ритмического движения и развития чувства равновесия.
Основой при изучении арифметики в первом классе служит развитие навыков ритмического счета. Здесь учитель много работает с ритмической структурой речи, различными стихотворными размерами, постепенно переходя к "чистому ритму" и рядам кратных. Ученики учатся свободно ориентироваться в числовом ряду (прямой и обратный счет, счет через два, три и т.д., счет десятками, счет вслух и «про себя»). Занятия сопровождаются активным движением: дети протопывают и прохлопывают ритмы, делают упражнения с мячиками, цветными шнурами, двигаются группами по различным формам. – Такая работа принадлежит к ритмической (начальной и наиболее активной) части урока.
Вообще, обучение в младшей школе (и в том числе, математике) основывается на максимальной двигательной активности детей. Они выполняют множество упражнений ногами, руками, всем телом. При этом общая тенденция такова, что «внешнее» движение постепенно сводится на нет (например, ритм, выполняемый в движении, через некоторое время делается уже стоя на месте, затем только руками, затем одними пальцами), уступая место «внутреннему» движению, на котором, в свою очередь, и строится математическая деятельность ребенка. Параллельно происходит проработка пространственных представлений и категорий (вверх, вниз, сверху вниз, снизу вверх, выше, ниже, на, над, под, слева, справа, правее, левее, между, рядом, перед и т.д.).
Другая линия, связанная с обучением арифметике, опирается на постепенный переход от "предметного" счета (с использованием пальцев, счетного материала и т.д.) к счету в уме. Эти занятия позволяют учащимся освоиться с пространственной структурой числа. «Предметный» счет оказывается также важным подспорьем при решении задач.
Освоение числового ряда включает в себя знакомство с понятиями «больше», «меньше», «равно»…
При изучении первых чисел и арифметических операций используется так называемый аналитический метод, когда исходят из числа (результата операции) и затем анализируют различные возможные значения операндов. Подобный подход допускает в ряде случаев множественность решений (различные разложения числа на слагаемые и сомножители) и укрепляет свободное, не скованное шаблонами мышление. – Также существенно, чтобы работа с арифметическими операциями не сводилась к одним лишь примерам. В 1 классе учитель должен постоянно возвращаться к ситуациям и задачам, в контексте которых возникают четыре действия, чтобы ученики смогли получить качественное представление о характере сложения, вычитания, умножения и деления, об их своеобразии и глубоких взаимосвязях.
Качественное переживание выходит на первый план также и в момент знакомства учеников с внутренней сущностью числа, с проявлением числа в мире – две руки, две ноги, четыре времени года, двенадцать месяцев, семь дней недели и т.д.
Знакомство с цифрами организовано таким образом, что параллельно с арабской ученики знакомятся и с римской записью числа как более наглядной и с ее помощью закрепляют счетные навыки.
Особое внимание уделяется введению числа 0. В ритмических упражнениях оно фигурирует как исходная точка, «затакт». Завершение знакомства с цифрами и переход к записи двузначных чисел позволяет взглянуть на 0 как на один из ключевых моментов в организации позиционной системы счисления. На этом же этапе начинается работа с разрядами.
Решение задач в первом классе происходит преимущественно в устной форме. Условия задач представляют собой занимательные истории, часто связанные с рассказами учителя в конце урока, по ходу которых ставится множество вопросов (на одно, реже два действия). Учитель стремится привлечь весь пройденный материал, углубить понимание и привить навыки работы сразу со всеми четырьмя арифметическими действиями. Итогом такой длительной устной работы становится "запись" решения, что в первом классе подразумевает пока только выполнение поясняющего рисунка и оформление "основной сюжетной линии".
Таблица умножения учится наизусть (в первом классе вплоть до умножения на 6,7). Заучивание, как уже отмечалось, опирается на ритмическое движение: дети хлопают, топают, прыгают и декламируют хором. В быстром темпе проговариваются числа, составляющие ряды кратных: 2,4,6,...; 3,6,9,... и т.д. Затем в прямом и обратном порядке заучивается таблица умножения как таковая. Снова ученики начинают с результата («пять – это единожды пять», «десять – это дважды пять» …) и только на втором этапе переходят к привычному виду таблицы умножения. – В связи с изучением таблицы умножения учащиеся знакомятся с понятием четного и нечетного числа.
Позже, к концу 1-го класса, переходят к работе "каноном", в едином ритме, когда одна группа произносит вслух только числа, кратные, например, 3, а другая - 4. При этом подготавливаются понятия “общего кратного” чисел, общего делителя, простого числа.
Геометрия и рисование форм
На уроках происходит также знакомство детей с основными геометрическими фигурами (см. отдельную программу). В дальнейшем (до 4 класса включительно) данное "геометрическое" направление будет именоваться "рисованием форм".
Примерное тематическое планирование (132 ч)
Числа от 1 до 10 (15 ч)
Проработка числового ряда (15 ч)
Сложение и вычитание (20 ч)
Решение простейших задач на сложение и вычитание (15 ч)
Умножение и деление (20 ч)
Решение простейших задач на умножение и деление (15 ч)
Таблица умножения (первые 6 рядов) (32 ч)
2 класс
Повторяется и закрепляется материал 1 класса. Основная цель: свободное владение четырьмя основными арифметическими операциями (в числовом пространстве, ограниченном первой сотней) и понимание того, как они взаимосвязаны между собой. В этой связи разбираются и отрабатываются примеры нахождения неизвестного операнда, при этом буквенных записей пока не вводится.
Заучивается таблица сложения до 20, отрабатываются соответствующие примеры на вычитание.
Продолжается работа с таблицей умножения, рядами кратных, навыками деления без остатка. Выучивается и отрабатывается таблица умножения до 12, соответствующие случаи деления. Много внимания уделяется тренировочной работе с таблицей умножения “в разбивку”. Таблица умножения закрепляется также графически. Рассматриваются закономерности, проявляющиеся при изображении рядов кратных на числовой прямой, при круговой организации натурального ряда.
Ритмический работа с таблицей умножения усложняется: ученики много считают “каноном”, когда разные группы в классе в едином темпе воспроизводят разные ряды кратных. В результате дифференцируется понятие числового пространства и подготавливается введение таких понятий, как “общий делитель”, “наибольший общий делитель”, “общее кратное”, “наименьшее общее кратное”, “разложение числа на сомножители”.
Усложняются задания по устному счету. Вводятся примеры, требующие структуризации и перегруппировки операндов. Запись решения таких примеров подготавливает введение в конце 2 класса скобок. Ученики много занимаются переходом через десяток, сотню, и таким образом создается основа для письменных вычислений. Прорабатывается сложение и вычитание в уме двух- и трехзначных чисел до того, как эти действия начинают выполняться письменно.
Практикуется устное выполнение «цепочки» действий: на скорость счета, на удерживание в сознании результатов промежуточных вычислений. Решаются и обратные задачи, когда требуется найти число, если известно, к какому результату привела некоторая последовательность действий.
Ученики систематически работают с разложением числа на единицы, десятки, сотни, формируя устойчивые навыки работы в позиционной системе. Отрабатывается порядок следования чисел при счете, запись и чтение трехзначных чисел, представление трехзначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых.
Решаются примеры и задачи на сравнение чисел и арифметических выражений, закрепляется владение знаками >, <, =; отрабатываются примеры и задания, целью которых является ответ на вопросы «больше на сколько», «меньше на сколько».
Для закрепления вычислительных навыков учитель много работает с числовыми последовательностями (последовательные натуральные числа, четные и нечетные числа, последовательные кратные и их суммы, т.н. "треугольные", "квадратные" числа - количество клеток, которые объемлет соответственно треугольник и квадрат различной величины и т.п.). Такого рода задачи предоставляют богатый вычислительный материал, позволяющий с разных сторон взглянуть на закономерности числового ряда, и дают многочисленные возможности для разноуровневой работы в рамках класса, что крайне важно на уроках математики.
Ученики также продолжают учиться решать и оформлять задачи. Как правило, письменному решению предшествует всестороннее знакомство с условием и устная проработка задач данного типа. Условие, ход решения и ответ оформляются в образной, рисуночной форме, при этом учитель постепенно вводит элементы математической записи. Переход к формализованной записи на данном этапе не является первостепенной задачей. – Условия подбираются по возможности таким образом, чтобы они допускали переход к серии однотипных задач, что дает возможность отработать решение задач данного вида и перейти к необходимым обобщениям, а также формулировать особые задания для учащихся разных уровней.
Решение задач сопровождается развитием навыков проверки вычислений и отработкой взаимосвязи основных операций.
К концу 2 класса вводятся письменное сложение и вычитание “в столбик”. Перенос в следующий разряд (заимствование из следующего разряда) объясняются вначале наглядно, с необходимыми пояснениями на предметах (например, “десяток” выступает как мешочек с десятью камнями). Навыки выполнения письменных операций отрабатываются в 3 и 4 классах.
Геометрия и рисование форм
Продолжается работа с основными геометрическими фигурами. Возникают новые задания, связанные с симметрией. Как и в 1 классе ученики добиваются точности изображения без использования вспомогательных инструментов.
Примерное тематическое планирование (136 ч)
Числа от 1 до 100 (15 ч)
Сравнение чисел (10 ч)
Основы позиционной системы счисления (15 ч)
Сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел (20 ч)
Умножение и деление однозначных и двузначных чисел (20 ч)
Решение простейших задач в одно-два действия (20 ч)
Таблица умножения на 7-12 (36 ч)
3 класс
В третьем классе дети вступают в такой возраст, с которым связано изменение отношения к окружающему миру, к "практической" стороне жизни. Перед учителем встает задача показать ученикам, какого рода и насколько разнообразные задачи ставит перед человеком сама жизнь. При этом ему приходится много и тщательно работать над формулировками задач, добиваясь их “естественности”, органической связи с общим контекстом урока, с материалом других предметов.
На уроках математики значительное место занимают измерения времени, длин, весов, площадей, объёмов, обсуждается денежная система. В связи с этим вводятся и отрабатываются единицы измерения, решаются задачи на переход от одних единиц к другим.
Учитель начинает с изучения старинных неметрических систем (сажень, локоть, фут и т.д.), более наглядных и естественных для ребенка, поскольку они позволяли соизмерять длины и расстояния с человеческим телом, а затем переходит к общепринятым метрическим. - Изучение единиц измерения продолжается также и в 4 классе. За два года ученики, наряду со старинными мерами, осваивают следующие единицы измерения:
- длины (миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры),
- площади (квадратные сантиметры, квадратные метры, ары, гектары, квадратные километры),
- объема (кубические сантиметры, литры, кубические метры),
- времени (секунды, минуты, часы, сутки, месяцы, годы),
- веса (граммы, килограммы, центнеры, тонны).
Перевод одних метрических единиц в другие требует предварительной отработки умножения и деления на степени 10. В этой связи впервые систематически обсуждаются вопросы оценки результата вычислений и ставится задача выполнения приближенных вычислений.
Работа с величинами и единицами измерений позволяет отработать навыки решения задач в два и более действия. В 3 классе обогащается типология задач. Решаются задачи на нахождение неизвестной длины (расстояния) (в том числе задачи на нахождение периметра), на сравнение, типа «во сколько раз больше», «во сколько раз меньше», простейшие задачи типа «расстояние-время-скорость», «стоимость-цена-количество». Особое место занимают старинные задачи и задачи на нахождение магических квадратов. – Важно отметить, что задачи на данном этапе решаются без введения неизвестных, исключительно арифметическим способом.
Знакомство с величинами и единицами измерений позволяет закрепить навыки работы в позиционной системе счисления. Числовое пространство расширяется до 1000000. Изучаются разряды и классы.
Значительное внимание уделяется введению, отработке и закреплению навыков выполнения письменных вычислений “в столбик”. Примеры на сложение и деление усложняются, закрепляются методы проверки результата. Вводится умножение на одно-, двузначное и трехзначное число, деление на однозначное число. – Вводятся названия операндов основных арифметических действий.
Письменные вычисления отрабатываются параллельно с практикой нахождения значений арифметических выражений. Усложняется работа с выражениями, содержащими скобки. Систематизируются правила работы со скобками (порядок действий, правила раскрытия скобок).
По-прежнему большую роль играют устные вычисления. Расширяются привычные рамки таблицы умножения, много внимания уделяется отработке навыков умножения на числа от 10 до 20, на числа, заканчивающиеся на 0 и 5. Тем самым закладывается необходимый фундамент для уверенного решения более сложных примеров и задач (предусматривающих, например, деление на двузначное число).
Решение задач на деление и выполнение письменного деления подводит к обсуждению признаков делимости на 2, 5, 10, 3.
Изучается деление с остатком. Данная тема технически подготавливает введение в 4 классе обыкновенных дробей.
Геометрия и рисование форм
На уроках "Рисования форм" возникают задания с круговыми формами, с вписанными в окружность и описанными вокруг нее фигурами. Возникают более сложные упражнения на симметрию.
Как и во 2 классе упражнения с элементами симметрии выполняются без использования инструментов, с опорой на чувство равновесия и гармонии, на художественное переживание формы.
В 3 классе, в связи с изучением величин и единиц измерения длины, учащиеся работают с линейкой. Они учатся измерять длину отрезка, строить отрезок заданной длины, знакомятся с понятием периметра.
Примерное тематическое планирование (136 ч)
Числа от 1 до 1000 (10 ч)
Сравнение чисел (10 ч)
Позиционная система счисления (15 ч)
Письменное сложение и вычитание (20 ч)
Письменное умножение на однозначное и двузначное число (25 ч)
Величины и меры, единицы измерения (40 ч)
Решение задач (16 ч)
4 класс
Повторяются и закрепляются навыки выполнения письменных вычислений, в первую очередь умножения и деления, в том числе и с остатком. Отрабатываются сложные случаи умножения в столбик (в том числе с нулями в десятичной записи сомножителей). Осваивается деление на дву- и трехзначное число, навыки проверки правильности выполнения арифметических вычислений.
Много времени уделяется дальнейшему освоению числового пространства, работе с тысячами, миллионами, миллиардами. Возникающие в связи с этим задачи продолжают начатую в 3 классе работу с величинами. Ученики отрабатывают навыки работы с единицами измерений (теперь уже преимущественно оставаясь в рамках метрической системы) — перевод одних единиц в другие, сравнение величин, выраженных в разных единицах. – При решении задач и проверке правильности полученного результата возникает задача оценки. В этой же связи впервые затрагивается тема "Округление".
Основным новым материалом в 4 классе являются обыкновенные дроби. Много внимания учитель уделяет тому, чтобы ученики научились в простейших случаях (плоские и объемные фигуры, циферблат и т.д.) “оценивать”, “чувствовать” дробь. Для этого, особенно на первом этапе, в классе выполняется целый ряд практических заданий, когда части “изготовляются” из бумаги, глины и т.д.
Отправной точкой является понятие простой дроби (типа 1/n). Затем вводится понятие обыкновенной дроби (типа m/n) как результат сложения нескольких одинаковых простых дробей. Ученики осваивают чтение и запись дробных чисел. Рассматривается сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем, умножение и деление дроби на целое число. Ученики знакомятся с правильными и неправильными дробями, понятиями целой и дробной части, учатся выделять целую часть дробного числа. Изучается сравнение дробей с одинаковыми знаменателями и простые случаи сравнения дробей с разными знаменателями. – Каждый раз учитель начинает со случаев, допускающих "наглядную" иллюстрацию. Ученики постепенно вырабатывают навыки оценки и сравнения дробей, приходят к первым закономерностям в этой области (сравнение смешанных дробей по целым частям, сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, с одинаковыми числителями).
Систематически изучается сокращение дробей и основное свойство дроби. Ученики научаются приводить дроби сначала к общему, а постепенно (в 4 классе – в простых случаях) и к наименьшему общему знаменателю. – В связи с этим много внимания уделяется нахождению общего делителя и общего кратного двух и более чисел. Вводятся понятия наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного, рассматриваются случаи разложения числа на множители и на простые множители. Дается представление о простом и составном числе, находятся первые простые числа. Повторяются и закрепляются признаки делимости на 2, 3, 5, 10.
Изучается сложение и вычитание обыкновенных дробей, сравнение дробей с разными знаменателями. Учитель стремится выработать в учениках твердые навыки, уверенность при выполнении этих операций, четкое знание алгоритмов и умение описать их.
Прорабатывается умножение и деление обыкновенных дробей, понятие взаимно обратных чисел. – К концу года ученики должны приобрести опыт работы с арифметическими выражениями, включающими обыкновенные дроби и четыре основные арифметические операции.
Большое внимание уделяется решению задач. Помимо задач, сводящихся к сложению и вычитанию дробей, а также к умножению дроби на натуральное число, рассматриваются задачи, требующие нахождения части от целого и целого по известной части. Учитель показывает, каким образом эти задачи могут быть решены с помощью умножения и деления на дробь.
Продолжается развитие навыков в решении задач типа «расстояние-время-скорость», «стоимость-цена-количество». При этом учитель остается в рамках элементарных арифметических решений, сознательно оставляя знакомство с буквенными выражениями на последующие классы. В качестве инструмента решения задач впервые вводится понятие пропорции.
Геометрия и рисование форм
На уроках рисования форм вводятся элементы пространственных форм: узлы, плетения. Одновременно с пространственными появляются сложные центрированные (в том числе, крестовые) формы. Задания по-прежнему выполняются без помощи специальных инструментов, от руки.
Примерное тематическое планирование (136 ч)
Числа от 1 до 1.000.000 (10 ч)
Письменное сложение и вычитание (15 ч)
Письменное умножение (15 ч)
Письменное деление на однозначное и двузначное число (25 ч)
Меры времени, площади, объема (20 ч)
Обыкновенные дроби (35 ч)
Решение задач (16 ч)
К концу 4-го класса ученики должны:
- знать последовательность чисел в пределах миллиона;
- знать таблицу сложения и вычитания однозначных чисел;
- знать таблицу умножения однозначных чисел и соответствующие табличные случаи деления;
- знать порядок выполнения действий в числовых выражениях, включающих скобки;
- знать названия операндов четырех арифметических действий;
- знать таблицы единиц измерения величин, принятые обозначения этих величин, применять эти знания в практике измерений и при решении задач;
- уметь читать, записывать и сравнивать числа в пределах миллиона;
- уметь выполнять устные вычисления в пределах 100, а с большими числами в случаях, легко сводимых к действиям в пределах 100;
- уметь представлять многозначное число в виде суммы разрядных слагаемых;
- уметь выполнять письменные вычисления (сложение и вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное и трехзначное число), выполнять проверку правильности вычислений;
- уметь выполнять деление с остатком;
- уметь выполнять вычисления с нулем;
- уметь читать простейшие числовые выражения с использованием терминов: “сумма”, “разность”, “произведение”, “частное”;
- уметь решать задачи в 2-3 действия арифметическим способом;
- уметь сравнивать величины, выражать величины в разных единицах;
- уметь выполнять действия с обыкновенными дробями и сравнивать дроби;
- уметь распознавать изученные геометрические формы и изображать их от руки;
- уметь отложить с помощью линейки отрезок заданной длины и измерить длину отрезка;
- вычислять периметр и площадь прямоугольника;
Для сравнения: