Бесконечно малая сфероидическая трапеция ABCD эллипсоида (рис.5) отображается на плоскость бесконечно малой косоугольной трапецией А'В'С'D' (рис.7), которую с точностью до членов более высоких порядков малости можно принять за бесконечно малый параллелограмм, а ее линейный элемент
dσ=A'С' — за бесконечно малый отрезок прямой.
Элементами этого изображения являются: бесконечно малые отрезки изображения меридиана dcr] - А В и параллели dσ = A'D', которые образуют с осью абсцисс X соответственно углы у и у'; линейный элемент dσ, составляющий с осью X угол ψ; азимут линейного элемента β; углы i в точках проекции между изображениями меридианов и параллелей и площадь изображения бесконечно малой сфероидической трапеции dΣ.
Линейный элемент
Из рис. 7 имеем:
dσ²=dx²+dy² (1)
Полные дифференциалы dx и dy можно представить в виде:
dx=xᵩdϕ+xᵧdλ
dy=yᵩdϕ+yᵧdλ
где xᵩ xᵧ yᵩ yᵧ - обыкновенные или частные производные.
подставив эти дифференциалы в выражение (1)и сгруппировав члены при одинаковых дифференциалах, получим:
dσ²=edϕ²+2fdϕdλ+gdλ (2)
где e, f, g - коэффициенты Гаусса:
e=xᵩ²+yᵩ² f=xᵩxᵧ+yᵩyᵧ g=xᵧ²+yᵩ²
По направлениям мередианов λ=const, dλ=0 и параллелей ϕ=const и dϕ=0, следовательно, с учетом(36):
dσ₁=√edϕ
dσ₂=√gdλ (3)
Углы i между изображениями мередианов и параллелей на проекции
Из рисунка 7 можно записать:
(4)
По направлению мередианов dλ=0, угол ψ=ϒ и из (4) получаем:
(5)
-формулу сближения мередианов.
Соответственно по направлению параллелей dϕ=0, ψ=ϒ' и
(6)
Из рисунка 7 также видно, что i = ϒ'-ϒ, отсюда:
Подставив в это выражение значения (5) и (6), найдем:
|
|
(7)
Обозначим числитель 
(8) и отметим, что он равен функциональному определителю:
Формула (7) принимает вид: 
(9)
Определим значения cos i и sin i. Для этого вначале составим функцию eg-f². Используя коэффициенты Гаусса(2), получим
(10)
При этом из двух знаков перед корнем берем знак плюс, так как в математической картографии всегда используются только положительные значения h.
Теперь, если записать
и подставить в это выражение значения (10) (9), то в результате найдем искомые функции:
(11, 12)
В этих формулах угол i считается северо-восточным в том же направлении, как идет счет азимутов. Его четверть определяется знаком при величине f.
Если f > 0, то i < 90 - угол лежит в первой четверти.
Если f <0, то i > 90 - угол лежит в второй четверти
При f = 0 угол i=90 - меридианы и параллели изображаются ортогональными линиями.
Таким образом выражение
(13)
является условием ортогональности картографической сетки на проекции.
Поскольку сетка часто изображается неортогонально, то нередко возникает вопрос о величине отклонения угла i от прямого. Обозначим ε = i -90, тогда из формулы (9)
(14)
Азимут β линейного элемента d σ на проекции
Значение азимута β линейного элемента dσ нетрудно определить, записав из рис.7
β=ψ-ϒ
и
Учитывая формулы,
отсюда найдем:
Но из выражения ()
следовательно, предыдущая формула принимает вид:
(15)
Выражение устанавливает связь азимутов β и α линейных элементов на плоскости и на поверхности эллипсоида.