Эти ограничения описывают функционирование исследуемой системы. Они представляют особую группу балансовых уравнений, связанных с характеристиками отдельных блоков, такими как масса, энергия, затраты.
Тот факт, что в модели ЛП балансовые уравнения должны быть линейными, исключает возможность представления таких принципиально нелинейных зависимостей, как сложные химические реакц изменения условий функционирования, которые допускают линейное описание (хотя бы приближенно) могут быть учтены в модели. Балансовые соотношения могут быть введены для какой-то законченной части блок-схемы, например для отдельного блока; обычно они выписываются для каждого технологичедского потока, который в блок-схеме изображается линией. Количество вещества, полученного, может быть, более чем из одного блока, входящего в поток, равно количеству этого вещества, выходящего из потока (и поступающего как сырье, возможно, более, чем в один блок).
В статических (одноэтапных) моделях такие соотношения можно представить в виде: - вход + выход = 0
Динамический (многоэтапный) процесс описывается соотношениями:
- вход + выход + накопления = 0, где под накоплениями понимается чистый прирост за рассматриваемый период.
Пусть K потоков входит в какой-то блок, и Xk, k=1... K, количество сырья, передаваемого в блок каждым потоком. Пусть также из каждой единицы k-го сырья в блоке производится количество Aik какого-то i-го продукта. Тогда общее количество произведенного продукта определится формулой: E Aik*Xk.
Предположим далее, что этот продукт сам поступает на вход какого-то только одного блока в количестве равном Xi. Тогда балансовое соотношение (строка i для потока этого продукта имеет вид: - E Aik*Xk + 1. 0Xj = 0 (2. 2)
Каждый поток состоит из продуктов, произведенных блоками, и сырья и соединяет различные блоки. Тогда при составлении балансовых
соотношений потоков предполагается следующее:
1. Для каждого потока определяется балансовое уравнение, которому соответствует строка i.
2. Каждому входу потока в какой-то блок ставится в соответствие столбец с коэффициентом, равным +1. 0. Каждому столбцу соответствует переменная Xj, значение которой определяет объем потока, входящего в блок. Поток может входить более чем в один блок, тогда в уравнении 2. 2. появится несколько членов +1. 0Xj, каждый из которых будет представлять объем потока на входе в соответствующий блок.
3. Столбец (которому отвечает, например, переменная Xk), соответствующий выходу потока продукта из блока, содержит коэффициент, равный -Aik. Заметим, что в одном и том же балансовом уравнении могут появиться дополнительные члены, если одинаковые потоки (то есть потоки с одинаковыми характеристиками) поступают из разных блоков или сырьевых источников.
В результате получаем балансовое уравнение виа:
- E Aik*Xk + 1. 0Xj = 0, в котором может быть несколько членов вида +1. 0Xj, если поток входит более чем в один блок.
Итак, строка балансового уравнения соответствует потоку, который характеризуется набором определенных свойств и может иметь более, чем по одной точке входа и выхода. Столбец, которому отвечает переменная Xj, соответствует каждой новой точке входа потока в блок.
Дальнейшее условие общего вида, касающееся всех типов ограничений, состоит в том, что отрицательные коэффициенты указывают на то, что продукт произведен системой, а положительные - что он потреблен ею.
ОГРАНИЧЕНИЕ НА РЕСУРСЫИ КОНЕЧНОЕ ПОТРЕБЛЕНИЕ
С этими ограничениями ситуация довольно ясная. В самом простом виде ограничения на ресурсы - это ограничения сверху на переменные, представляющие расход ресурсов, а ограничения на конечное потребление продуктов - это ограничения снизу на переменные, представляющие производство продукта. Ограничения на ресурсы имеют следующий вид:
Ai1X1 +... + AijXj +... + AinXn <= Bi,
где Aij - расход i-го ресурса на единицу Xj, j = 1... n, а Bi общий объем имеющегося ресурса.
Если же ввести новую переменную, например Xn+1, представляющую суммарный расход, ограничение примет вид:
Ai1X1 +... + AijXj +... + AinXn - Xn+1 = 0,
Xn+1 <= Bi,
Определяя Aij как выход i-го продукта на единицу Xj, j = 1... n, и поменяв знак неравенства на противоположный, мы получим аналогичные соотношения для учета конечного потребления, где Bi будет представлять общее потребление i-го продукта. Заметим, что ограничение на мощность завода и оборудования можно учесть таким же образом, как ограничение на ресурс. Зависимость затрат от объема используемых ресурсов (или конечного потреблени можно также отразить в модели.