В ряде случаев бывают известны варианты (х) и произведение варианты на частоту (х * f), в то время как сами частоты неизвестны. В этих случаях применяется средняя гармоническая, которая бывает взвешенной и простой.
1. Средняя гармоническая взвешенная:
– средняя арифметическая взвешенная.
(4.5)
Пример: определить среднюю заработную плату работников по 3 корпусам пансионата.
Таблица 4.6 – Фонд оплаты труда по корпусам пансионата
2. Средняя гармоническая простая
Если произведение f*x=M равно 1, то для расчета средней величины применяется средняя гармоническая простая.
(4.6)
(4.7)
Пример: в бригаде работает 3 человека, которые оказывают одни и те же услуги
Таблица 4.7 – Выработка сотрудников в бригаде
| Затраты времени на 1 услугу, ч, (х) | Число услуг в 1 ч | хf=М |
| 1/2 | ||
| 1/3 | ||
| 1/4 |
Затраты времени на оказание одной услуги:
для 1-го работника = 1/2 ч;
для 2-го работника = 1/3 ч;
для 3-го работника = 1/4 ч.
Определить средние затраты времени на оказание услуги.
Средняя хронологическая
Средняя хронологическая применяется для расчета средней величины, если исходные данные представлены на определенные даты, моменты времени.
Пример: определить среднюю стоимость имущества пансионата за 1-й квартал по следующим данным:
Таблица 4.8 – Стоимость имущества в 1 квартале
| Дата | 01.01 | 01.02 | 01.03 | 01.04 |
| Стоимость имущества, тыс. руб. |
(4.8)
(4.9)
Средняя геометрическая
Средняя геометрическая чаще всего применяется для определения средних темпов роста в единицу времени.
Пример: определить среднегодовой темп роста продукции предприятия.
Таблица 4.9 – Выпуск продукции предприятием в 2008–2012 гг.
| Показатели | Годы | ||||
| Выпуск продукции, млн руб. | 20,0 Y1 | 22,0 Y2 | 26,4 Y3 | 50,1 Y4 | 100,2 Y5 |
| Коэффициент роста выпуска продукции | – | 1,1 k1 | 1,2 k2 | 1,9 k3 | 2,0 k4 |
(4.10)
где n – число коэффициентов роста.
В среднем за каждый год объем продукции возрастает в 1,497 раза (или на 149,7%).
(4.11)
(4.12)
где p – число дат.
Средняя квадратическая. Взаимосвязь степенных срених величин
Средняя квадратическая – простая и взвешенная.
(4.13)
(4.14)
Пример: имеются 3 земельных участка в форме квадрата со сторонами:
X1= 100 м;
Х2= 200 м;
Х3= 300 м.
Определить среднюю величину стороны земельных участков. Если примем формулу средней арифметической, то получим, что общая площадь всех участков составляет 120 000 м2, что не соответствует действительности (реальная площадь 3-х участков равна 140 000 м2:
,
т.к:
Для правильного расчета следует использовать формулу средней квадратической простой:
Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей общей формулы:
(4.15)
где при: k = –1 – получается средняя гармоническая;
k = 0 – средняя геометрическая;
k = 1 – средняя арифметическая;
k = 2 – средняя квадратическая;
k = 3 – средняя кубическая.
Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место следующая зависимость (для одного ряда распределения):
(4.16)
Мода и медиана
Мода – это наиболее часто встречающаяся варианта распределения или варианта, имеющая наибольшую частоту.
Для дискретных радов мода определяется визуально.
Пример: определить моду следующего ряда распределения.
Таблица 4.10 – Данные о проданных парах обуви, ед.
| Размер обуви (х) | Число проданных пар (f) | Накопленные частоты (cum f) |
| 12 (2 + 10) | ||
| 32 (12 + 20) | ||
| 37 | 88 | 120 (32 + 88) |
| 139 (120 + 19) | ||
| 148 (139 + 9) | ||
| 150 (148 + 2) | ||
| Итого | 150 | – |
Модой является размер 37, т.е. наибольшее число проданной обуви было 37-го размера.
Мода интервального ряда определяется по следующей формуле:
(4.17)
где: х0 – нижняя граница модального интервала;
i – величина модального интервала;
fm0 – частота модального интервала;
fm0-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
fm0+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.
Пример: определить моду следующего ряда распределения:
Таблица 4.11 – Распределение работников предприятия по стажу в 2012 г.
| Стаж работы, лет (x) | Число работников (f) | Накопленные частоты (cum f) |
| до 2 2–4 4–6 6–8 8–10 свыше 10 | ||
| Итого | 100 | – |
Ответ: наибольшее число работников имеет стаж работы 6,76 лет.
Медиана (Мe) – это варианта, которая приходится на середину ряда распределения, расположенного в порядке возрастания признаков. Она делит ряд распределения на 2 равные части.
Определение медианы для дискретного ряда распределения.
Медианой дискретного ряда является варианта, которая приходится на полусумму накопленных частот:
(4.18)
В нашем примере размер обуви 37 является также и медианой, т.е. половина проданной обуви меньше 37-го размера, другая половина – 37-го размера и больше.
Для интервального ряда Ме определяется по формуле:
(4.19)
где х0 – нижняя граница медианного интервала;
i – величина медианного интервала;
– полусумма накопленных частот;
– сумма накопленных частот, интервалов, предшествующих медианному;
– частота медианного интервала.
Медианный – это интервал, на который приходится полусумма накопленных частот. В нашем примере «6–8 лет» – медианный интервал.
Это означает, что половина работников имеет стаж работы меньше 6,2 года, а другая половина больше.
Контрольные вопросы и задания
1. В чем заключается сущность статистической обработки методом средней величины?
2. Перечислите основные положения теории средних величин.
3. В каких случаях применяется средняя арифметическая простая? В чем ее отличие от средней арифметической взвешенной?
4. Какие свойства средних величин Вы знаете? Для чего они применяются?
5. Назовите виды средних степенных величин и напишите формулу степенной средней.
6. Какая зависимость существует между степенными средними величинами для одного ряда распределения?
7. Являются ли мода и медиана средними величинами и почему?
8. Как определить моду и медиану для дискретного ряда?
9. Что такое модальный и медианный интервалы? Могут ли они совпадать?
5. Изучение ВАРИАЦИи рядов распределения
Понятие вариации
Для каждой единицы изучаемой совокупности интересующий нас признак принимает различные значения, т.е. варьирует.
Вариация – это колебание признака в ряде распределения.
Рассмотрим 2 ряда чисел:
1) 75, 90, 78, 82, 93, 86 
2) 65, 122, 84, 70, 105, 58 
Разности следует освободить от знака для построения показателей вариации. Для этого нужно взять моду или четную степень. На этом принципе основано построение основных показателей вариации.