Действия над линейными подпространствами

Пусть L₁ и L₂ - линейные подпространства линейного пространства V. По аналогии с теорией множеств можно рассмотреть операции над линейными подпространствами.

1. Пересечением линейных подпространств L₁ и L₂ называется множество

L₀={x½xÎ L₁ÙxÎL₂}=L₁ÇL₂.

Используя теорему о подпространстве, легко показать, что пересечение двух линейных подпространств линейного пространства V само является линейным подпространством линейного пространства V. Действительно, пусть

x,yÎ L₀Û xÎL₁ÙxÎL₂Ù yÎL₁Ù y ÎL₂Ûx+yÎL₁Ùx+ yÎL₂Û x+ yÎL₀.

Аналогично,

пусть xÎ L₀ и lÎR Û xÎ L₁ÙxÎL₂ÙlÎRÛ lxÎ L₁ÙlxÎL₂ ÛlxÎ L₀.

Оба условия теоремы выполнены, следовательно, L₀ - линейное подпространство линейного пространства V.

2. суммой линейных подпространств L₁ и L₂ линейного пространства V называется множество

=L₁+L₂ ={x½x=x₁+x₂ Ùx₁Î L₁Ùx₂ÎL₂}.

Если представление элементов множества как суммы элементов множеств L₁ и L₂ является однозначным, то сумма называется прямой и обозначается = L₁ÅL₂.

Так как L₁ÌV и L₂ÌV, то, очевидно, ÌV. Покажем, что - линейное подпространство линейного пространства V. Действительно, пусть

x,yÎ Û x=x₁+x₂ Ùx₁Î L₁Ùx₂ÎL₂Ù y=y₁+y₂ Ùy₁Î L₁Ùy₂ÎL₂Û

x+y=(x₁+x₂)+(y₁+y₂)=(x₁+y₁)+(x₂+y₂) Î , так как x₁+y₁Î L₁Ù x₂+y₂ÎL₂.

Аналогично, пусть xÎ Û x=x₁+x₂ Ùx₁Î L₁Ùx₂ÎL₂ и пусть lÎR, тогда

lx₁Î L₁Ùlx₂ÎL₂Ûl x=l(x₁+x₂)= lx₁+lx₂Î .

Оба условия теоремы выполнены, следовательно, - линейное подпространство линейного пространства V.

Примеры

Пусть V – обычное трехмерное геометрическое пространство. L₁ - множество векторов, лежащих в плоскости a, L₂ - множество векторов, лежащих в плоскости b, причем a^b, тогда L₁+L₂ совпадает с пространством V, причем эта сумма не будет прямой, что хорошо видно на примере.

 

 

 

a

 

b

 

 

Теорема. Размерность суммы линейных подпространств равна сумме их размерностей минус размерность пересечения, то есть

dim =dim(L₁+ L₂)=dimL₁+dimL₂-dim L₁Ç L₂

Доказательство

Пусть L₁ и L₂ – линейные подпространства линейного пространства V, обозначим dimL₁=m₁, dimL₂=m₂, L₀=L₁ÇL₂, dimL₀=m₀, =L₁+ L₂, dim = и докажем, что = m₁+ m₂- m_0.

Рассмотрим базис пространства L₀ , он состоит из m₀ векторов:

e₁,e₂,…, (1)

Так как e₁,e₂,…, Î L₀, то e₁,e₂,…, ÎL₁ и e₁,e₂,…, ÎL_2.Дополним систему векторов (1) до базиса пространства L₁:

e₁,e₂,…, , … (2)

и до базиса пространства L₂:

e₁,e₂,…, , … (3)

По определению базиса,

"aÎL₁$a₁,a₂,…, , ,…, ÎR(a=a₁e₁+…+ +…+ ).

Аналогично

"bÎL₁$b₁,b₂,…, , ,…, ÎR(b=b₁e₁+…+ +…+ ).

Теперь рассмотрим линейное пространство

=L₁+L₂ ={x½x=x₁+x₂ Ùx₁Î L₁Ùx₂ÎL₂},

тогда " xÎ имеем x=a+b = =(a₁e₁+…+ +…+ )+(b₁e₁+…+ +…+ ) =

=(a₁+b₁)e₁+…+( + ) + + +… + + + (4)

Из полученного соотношения (4) следует, что произвольный вектор линейного пространства является линейной комбинацией векторов

e₁,e₂,…, , … , … (5)

то есть линейное пространство является линейной оболочкой системы векторов (5). Покажем, что эта система векторов линейно независима.

Предположим противное. Пусть существуют такие действительные числа

l₁, l₂,…, , ,…, , ,…, , что

l₁ e₁ +…+ + +…+ + +…+ =0 (*)

и среди коэффициентов есть отличные от нуля.

Преобразуем последнее равенство

l₁ e₁ +…+ =-( +…+ )=с, где сÎ L₁, так как с=l₁ e₁ +…+ является линейной комбинацией векторов базиса (2). Кроме того, сÎ L₂, так как с=-( +…+ ) – линейная комбинация векторов линейного пространства L₂. Следовательно,

сÎ L₀=L₁ÇL₂, но тогда вектор с можно разложить по базису (1)

с=m₁e₁+m₂e₂+…+ =-( +…+ ).

Отсюда следует

m₁e₁+m₂e₂+…+ + +…+ =0,

так как это - линейная комбинация векторов базиса (3), то равенство нулю означает, что равны нулю все коэффициенты, то есть

m₁=m₂=…= = =…= =0 Û с=0Ûl₁ e₁ +…+ =0, а это линейная комбинация векторов базиса (2), и, следовательно, равенство нулю означает, что равны нулю все коэффициенты, то есть l₁=…= =0. Таким образом, мы получили, что равенство (*) возможно только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю, а это, в свою очередь, означает, что система векторов (5) линейно независима. Поэтому система векторов (5) является базисом линейной оболочки , порожденной этими векторами. Число векторов в базисе (5) равно размерности линейного пространства и равно = m₁+ m₂- m₀, что и требовалось доказать.

Следствие. Размерность прямой суммы линейных подпространств равна сумме их размерностей.

Доказательство

Для доказательства достаточно показать, что = L₁ÅL₂.Þ L₁ÇL₂ ={0}.

Действительно, если предположить противное, то есть найдется ненулевой вектор сÎL₁ÇL₂, тогда сÎL₁ и сÎL₂ , следовательно, сÎL₁ и сÎ L₂, сÎL₁ и сÎ L₂, тогда с= с+ с= с+ с. Получили противоречие, L₁ÇL₂ ={0} и следствие доказано.

Евклидовы пространства

Пусть V=(V,+,W) – линейное пространство над полем R. Будем говорить, что в линейном пространстве V задано скалярное умножение, если задано отображение V´V®R, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1° "a,bÎV ((a,b)=(b,a))

2° "a,b,cÎV ((a+c,b)=(a,b)+(c,b))

3° "a,bÎV"lÎ R ((la,b)= l(a,b))

4° "aÎV (a¹0Þ(a,a)>0)

Следствие из аксиом. Если a=0 или b=0, тогда (a,b)=0.

Примеры

1. Рассмотрим линейное пространство векторов на плоскости, а скалярное произведение определим так:

Самостоятельно показать, что все аксиомы выполняются.

2. Если рассмотреть множество функций, непрерывных на сегменте [a,b], ввести операции сложения и умножения на действительное число, получим линейное пространство. Скалярное произведение в этом пространстве можно ввести следующим образом:

(f (x) ,g (x))= .

Самостоятельно показать, что все аксиомы выполняются.

Определение. Линейное пространство, в котором введено скалярное умножение, называется Евклидовым пространством.

В любом n-мерном линейном пространстве можно ввести скалярное умножение векторов. Действительно, пусть V – n-мерное линейное пространство и e₁,e₂,…,e_n – базис этого пространства, тогда любой вектор линейного пространства V можно представить как линейную комбинацию векторов базиса, то есть "a,bÎV(а= , b= ). Введем операцию умножения векторов по правилу

(a,b)= ÎR.

Проверим, будет ли данное умножение скалярным произведением, для этого проверим все аксиомы

1° "a,bÎV ((a,b)= = =(b,a))

2° "a,b,cÎV ((a+c,b)= = (a,b)+(c,b))

3° "a,bÎV"lÎ R ((la,b)= = l(a,b))

4° "aÎV (a¹0Þ(a,a)= >0)

Все аксиомы выполнены, следовательно, мы получили евклидово пространство. Это говорит о том, что любое конечномерное линейное пространство можно преобразовать в евклидово. Далее будем рассматривать евклидовы пространства и обозначать их Е⁽ⁿ⁾.

Определение. Назовем длиной вектора а величину, равную арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата

ô а ô= .

Определение. Назовем углом между векторами a¹0 и b¹0 угол

j=arccos , 0£j£p.

Докажем корректность этого определения, то есть нужно показать, что

-1£ £1Û £1Û £1.

Рассмотрим скалярный квадрат вектора a-lb, где lÎ R, имеем

(a-lb, a-lb)=(a, a-lb)+(-lb, a-lb)=(a,a) +(a,-lb)+(-lb, a)+(-lb,-lb)=

=(a,a)-l(a,b)- -l(b,a)+ l²(b,b)= l²(b,b)-2l(a,b)+(a,a)³0 "lÎR.

Если рассмотреть последнее соотношение как квадратное неравенство относительно переменной l, тогда имеем (b,b)>0, и неравенство верно "lÎR, следовательно,

D=(a,b)²-(a,a)(b,b) £0Û (a,b)²£(a,a)(b,b) Û £1, что и требовалось доказать.

Из неравенства (a,b)²-(a,a)(b,b) £0 можно получить интересное следствие.

Пусть дано пространство, и скалярное произведение в нем определено следующим образом (a,b)= , тогда получим

()²- £0Û(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²£(a₁²+…+ a_n²)(b₁²+…+ b_n²).

Это неравенство Коши – Буняковского.

Определение. Два вектора a¹0 и b¹0 называются ортогональными, если угол между ними равен 90° или (a,b)=0.

Определение. Система векторов

a₁,a₂,…,a_s (1)

называется ортогональной, если любая пара векторов этой системы ортогональна, то есть

"i¹j ((a_i,a_j)=0).

Теорема. Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство

Пусть система векторов (1) – ортогональная. Рассмотрим их линейную комбинацию

a₁a₁+a₂a₂+…+a_sa_s=0 (2)

и покажем, что равенство 0 обязательно влечет за собой равенство нулю всех коэффициентов. Умножим обе части равенства (2) скалярно на a₁, получим

(a₁a₁+a₂a₂+…+a_sa_s,a₁)=(0,a₁) Û (a₁a₁,a₁)+(a₂a₂,a₁)+…+(a _sa_s ,a₁)=0 Û

Ûa₁(a₁,a₁)+ a₂(a₂,a₁)+…+ a _s(a_s ,a₁)=0,

но (a_i,a_j)=0, если i¹j, то есть (a₂,a₁)=…=(a_s ,a₁)=0. Следовательно, получаем

a₁(a₁,a₁)=0 и (a₁,a₁)>0, отсюда a₁=0. Аналогично, умножая равенство (2) скалярно на a₂,…,a_s, получим a₂=…=a_s=0, что и требовалось доказать, следовательно, система векторов (1) линейно независима.

Из доказанной теоремы следует, что всякая ортогональная система векторов евклидова пространства линейно независима. Возникает вопрос о переходе от линейно независимой системы векторов к ортогональной, содержащей такое же количество векторов. Такой процесс называется процессом ортогонализации. Дадим индуктивное определение процесса ортогонализации:

1. Пусть система векторов a₁, a₂ (s=2) линейно независима (очевидно, a₁¹0,a₂¹0). Рассмотрим новую систему векторов b₁=a₁, b₂=aa₁+a₂, где a - неизвестный числовой параметр, который найдем из условия (b₁,b₂)=0:

(b₁,b₂)=(a₁,aa₁+a₂)=a(a₁,a₁)+(a₁,a₂)=0 Þ a=- .

Таким образом, мы построили ортогональную систему из двух векторов.

2. Пусть имеем линейно независимую систему векторов

a₁,a₂,…,a_s (1)

Предположим, что для любого k (2£k<s) ортогональная система векторов построена

b₁,b₂,…,b_k.

Добавим еще один вектор b_k+1=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+ a_k+1.

Самостоятельно показать, что b_k+1¹0.

Коэффициенты a_i будем вычислять из условия, что

(b_k+1,b_i)=0Û(a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+ a_k+1,b_i)=0Û

a₁(b₁,b_i)+ …+a_i(b_i,b_i)+…+ a_k(b_k,b_i)+(a_k+1,b_i)=0Ûa_i(b_i,b_i)+(a_k+1,b_i)=0Þ

a_i=- .

получим ортогональную систему векторов b₁,b₂,…,b_k b_k+1.

Следствие. Пусть a₁,a₂,…,a_nÎЕ⁽ⁿ⁾ и являются базисом Е⁽ⁿ⁾. Так как базис - это линейно независимая система, то его можно ортогонализировать. Очевидно, полученная ортогональная система векторов также будет базисом пространства Е⁽ⁿ⁾. То есть в любом евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

Пусть а¹0ÎЕ⁽ⁿ⁾. Рассмотрим вектор е= . Очевидно, ôеô=1. Операция перехода от вектора а к вектору е называется нормированием, а полученный вектор – нормированным или нормальным. Любой ненулевой вектор можно аналогичным образом пронормировать. Если пронормировать векторы ортогонального базиса, то получим ортонормированный базис евклидова пространства e₁,e₂,…,e_n,где ôе_iô=1"i=1,…,n, (e_i,e_j)= .

Скалярное произведение любых векторов евклидова пространства тогда и только тогда равно сумме произведений одноименных координат, когда эти векторы заданы в ортонормированном базисе.