Первообразная и неопределенный интеграл: основные
Определения и теоремы
В первом семестре мы подробно изучали операцию дифференцирования, которая играет важную роль, как в самом математическом анализе, так и в его приложениях. Не менее значительную роль играет и обратная операция – восстановление функции по ее производной. Эту операцию называют интегрированием.
Определение 1. Функция 
называется первообразной для функции 
на данном промежутке, если на этом промежутке выполняется равенство:
.
Например, для 
первообразная 
, ибо 
.
Всякий раз, когда математики вводят в рассмотрение операцию, обратную некоторой известной операции, возникают два вопроса:
1) всегда ли осуществима эта обратная операция?
2) однозначен ли результат этой операции?
Ответ на первый вопрос дает теорема существования первообразной, доказательство которой будет дано в теме «Определенный интеграл».
Теорема 1. Всякая непрерывная функция имеет первообразную.
Что касается второго вопроса, то ответ на него отрицательный: если у функции есть первообразная 
, то любая сумма 
, где 
const будет первообразной для , ибо 
, а 
. Интересен и такой пример: для функции 
первообразными являются функции 
, 
и 
. Но в бесконечном множестве всех первообразных для любой функции существует определенный «порядок», устанавливаемый следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть – некоторая первообразная для функции на промежутке 
. Тогда любая другая первообразная 
имеет вид 
, где C – некоторая постоянная.
Доказательство. Вспомогательную функцию 
рассмотрим на промежутке 
и применим к ней теорему Лагранжа:
.
Но 
. Поэтому 
, т.е. 
. Считая точку 
фиксированной, а точку 
– произвольной, получим 
const. Отсюда и следует, что , где 
– некоторая постоянная.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом 
. В этом обозначении: символ 
– знак интеграла, – подынтегральная функция, 
– подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.
Итак,
,
где 
, а – некоторая постоянная.
Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из определения неопределенного интеграла:
, 
.
Неопределенный интеграл – это множество функций, и последнее равенство надо понимать так: производная каждой функции из этого множества совпадает с подынтегральной функцией.
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл – это семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых вдоль оси 
.
Примем (пока без доказательства) два полезных свойства первообразных: 1) каждая первообразная нечетной функции – четна; 2) одна из первообразных четной функции – нечетна.
Таблица основных интегралов
Равенство , равносильно равенству . Поэтому таблица интегралов – это таблица производных, прочитанная справа налево с некоторыми упрощениями и дополнениями.
1. 
, 
; 
; 
.
2. 
.
3. 
; 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
, 
.
13. 
, 
.
14. 
, , – “высокий” логарифм.
15. 
, , – “длинный” логарифм.
Всякую формулу интегрирования легко доказать дифференцированием. Например, формула 13:
.
Для простоты пишут 
вместо 
и 
вместо 
.
Замечание. Учитывая свойства аркфункций в формуле 12 вместо 
можно писать 
, а в формуле 13 вместо 
писать 
.
Основные правила интегрирования
I. 
.
II. 
.
III. Если , то 
.
Неопределенный интеграл – это множество функций и равенства I и II надо понимать как совпадение множеств. Например, равенство I означает следующее: чтобы получить элементы множества 
, надо каждый элемент множества умножить на число 
. Правило III можно доказать так: 
. Тогда
,
т.е. 
.
Отметим, что правило III “работает” только тогда, когда вместо переменной интегрирования 
фигурирует линейная функция 
:
,
но 
. Для этогоинтеграла правильный ответ имеет вид: 
.
Замечание. Правило III есть весьма частный случай замены переменной (см. следующий параграф).