I Линейные и дробно-линейные иррациональности
Пусть 
– линейная или дробно-линейная функция. Интеграл вида 
рационализируется подстановкой 
, где 
, так что числа 
– целые. Например, если 
, то 
, 
и 
, где 
– некоторая ра-циональная функция.
Аналогично нетрудно показать (рекомендуем сделать это!), что если 
, то 
и 
и интеграл 
снова рационализируется.
Пример 1.
.
II Квадратичные иррациональности: частный случай
В этой части параграфа рассмотрим интегралы вида 
и 
. В этих интегралах удается избавиться от иррациональности с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок, после чего рационализировать интеграл подстановками, рассмотренными в предыдущем параграфе.
II.1 
.
С тем же успехом можно взять и 
, 
.
II.2
a) 
;
b) 
.
II.3
a) 
;
b) 
.
Относительно интеграла 
необходимо сделать следующее замечание. Область определения радикала 
состоит из 2-х частей: 
. Рассмотренные выше замены справедливы лишь для 
. Для 
тригонометрическая замена та же, но 
и 
, а гиперболическая замена имеет вид 
В случае четной или нечетной подынтегральной функции можно пользоваться соответствующими свойствами первообразных (см. §1) и не рассматривать отдельно случай 
.
Примеры.
3. 
Если учесть, что 
, то ответ можно упростить
.
4. 
. Здесь тригонометрическая замена приведет к сложно-му интегралу 
, поэтому лучше применить гиперболическую подстановку: 
, 
, 
. Имеем
.
Здесь на последнем шаге использована формула для 
и выражение 
через логарифм.
5. 
.
Для 
сделаем замену 
, 
, тогда 
, 
, 
и получим
.
Подынтегральная функция – четная, а полученная первообразная нечетная, значит результат справедлив и для 
.
III Квадратичные иррациональности: общий случай,
Подстановки Эйлера
Интеграл вида 
выделением полного квадрата в подкоренном выражении и соответствующей заменой переменной можно свести к одному из интегралов, рассмотренных ранее.
Однако, существуют и прямые способы рационализации интеграла – это так называемые подстановки Эйлера. Новая переменная интегрирования 
вводится такими соотношениями:
1) если 
, то 
;
2) если 
, то 
;
3) если 
, то 
, где 
– один из корней квадратного трехчлена.
Возводя эти соотношения в квадрат и упрощая, можно убедиться в том, что 
, 
и радикал 
выражается через 
рациональным образом. Следовательно, данный интеграл рационализируется.
Предлагается студентам самостоятельно произвести все необходимые преобразования и применить эти подстановки к вычислению интегралов:
, 
, 
.
IV Интегрирование биномиальных дифференциалов:
Подстановки Чебышева
Биномиальным дифференциалом называют выражение вида 
, где 
, 
– действительные числа, а показатели степени 
, 
, 
– рациональные числа.
Выясним случаи, когда подобные выражения рационализируются.
IV.1 
. Этот случай соответствует ситуации, рассмотренной в пункте I. Действительно,
и интеграл рационализируется подстановкой 
, где 
.
IV.2 
. Рассмотрим подстановку 
, где 
– знаменатель дроби 
, так что 
. Тогда 
, 
и
.
IV.3 
. Предлагается подстановка 
, где 
– знаменатель дроби 
. Докажите самостоятельно, что и в этом случае, интеграл рационализируется.
Эти три случая интегрируемости биномиальных дифференциалов в элементарных функциях были известны еще в XVII веке. Однако, лишь в XIX веке Чебышев доказал, что других случаев нет.
Пример 6. 
.
Здесь 
, 
и 
; так как 
, то имеем случай третьей подстановки Чебышева. Итак,
или 
.
Находим отсюда и 
:
, 
, 
, 
.
Кроме того, 
. Имеем для интеграла:
.
Замечание к теме
В первом семестре мы рассмотрели многообразие функций, к которым в первую очередь применяются методы математического анализа – это элементарные функции. Нетрудно убедиться, что операция дифференцирования не выводит нас за пределы этого многообразия. Иначе обстоит дело с обратной операцией – интегрированием. Очень часто оказывается, что первообразная элементарной функции сама не является элементарной. К числу таких заведомо не выражающихся в конечном виде интегралов относятся, например,
, 
, 
Важно подчеркнуть, что все эти интегралы не только реально существуют, но и играют большую роль как в самом математическом анализе, так и в его приложениях.