ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ

Чтобы решить задачу о равновесии тела, необходимо выделить основные этапы решения, придерживаясь следующей последовательности:

1. Указать тело, равновесие которого рассматривается.

2. Определить все активные силы, действующие на тело.

3. Показать, какие тела являются связями для рассматриваемого тела.

4. Мысленно отбросить связи, заменив их действие на данное тело силами – реакциями связей.

5. Составить условия равновесия тела под действием полученной системы сил.

Рассмотрим примеры решения задач статики, встречающиеся в строительной механике.

Пример 1. К кронштейну, изображенному на рис. 20, а, в узле В подвешен груз весом 36 кН. Соединения элементов кронштейна шарнирные. Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и ВС, считая их невесомыми.

Решение. Для определения усилий в стержнях будем придерживаться методики, изложенной в начале параграфа.

Рассмотрим равновесие узла В, в котором сходятся стержни АВ и ВС. Узел В представляет собой точку на чертеже. Так как груз подвешен к узлу В, то в точке В прикладываем силу F, равную весу подвешенного груза. Стержни ВА и ВС, шарнирно соединенные в узле В, ограничивают возможность любого его линейного перемещения в вертикальной плоскости, т.е. являются связями по отношению к узлу В.

Рисунок 20 – Расчетная схема кронштейна к примеру 1:

а – расчетная схема; б – система сил в узле B

Мысленно отбрасываем связи и заменяем их действия силами – реакциями связей R_А и R_С. Так как стержни невесомые, то реакции этих стержней (усилия в стержнях) направлены вдоль оси стержней. Предположим, что оба стержня растянуты, т.е. их реакции направлены от шарнира внутрь стержней. Тогда, если после расчета реакция получится со знаком минус, то это будет означать, что на самом деле реакция направлена в сторону, противоположную указанной на чертеже, т.е. стержень будет сжат.

На рис. 20, б показано, что в точке В приложены активная сила F и реакции связей R_А и R_С. Видно, что изображенная система сил представляет плоскую систему сил, сходящихся в одной точке. Выбираем произвольно оси координат OX и OY и составляем уравнения равновесия вида:

SF_x = 0; - R_a - R_ccos a = 0;

SF_y = 0; - F - R_c cos (90 - a) = 0.

Учитывая, что cos (90 - a) = sin a, из второго уравнения находим

R_c = - F/sin a = - 36/0,5 = -72 кН.

Подставив значение R_c в первое уравнение, получим

R_a = -R_c cos a = - (-72) ´ 0,866 = 62,35 кН.

Таким образом, стержень АВ – растянут, а стержень ВС – сжат.

Для проверки правильности найденных усилий в стержнях спроецируем все силы на любую ось, не совпадающую с осями X и Y, например, ось U:

S F_u = 0; - R_c - R_a cos a - F cos (90-a) = 0.

После подстановки значений найденных усилий в стержнях (размерность в килоньютонах) получим

- (-72) – 62,35 × 0.866 – 36 × 0,5 = 0; 0 = 0.

Условие равновесия выполняется, таким образом, найденные усилия в стержнях верны.

Пример 2. Балка строительных подмостей, весом которой можно пренебречь, удерживается в горизонтальном положении гибкой тягой СD и шарнирно опирается на стену в точке А. Найти усилие в тяге СD, если на край подмостей встанет рабочий весом 80 кг » 0,8 кН (рис. 21, а).

Рисунок 21 – Расчетная схема подмостей к примеру 2:

а – расчетная схема; б – система сил, действующих на подмости

Решение. Выделяем объект равновесия. В данном примере объектом равновесия является балка подмостей. В точке В на балку действует активная сила F, равная весу человека. Связями в данном случае являются неподвижный опорный шарнир А и тяга CD. Мысленно отбросим связи, заменив действие их на балку, реакциями связей (рис. 21, б). Реакцию неподвижной шарнирной опоры по условию задачи определять не нужно. Реакция в тяге CD направлена вдоль тяги. Предположим, что стержень CD растянут, т.е. реакция R_D направлена от шарнира С внутрь стержня. Разложим реакцию R_D на горизонтальную и вертикальную составляющие: R_Dx = R_D cosa; R_Dy = R_D cos (90-a) = R_D sina. В результате получили произвольную плоскую систему сил, необходимым условием равновесия которой являются, например, уравнения вида (1).

В нашем случае удобно первым записать условие равновесия в виде суммы моментов относительно моментной точки А, так как момент опорной реакции R_A относительно этой точки равен нулю:

Sm_A = 0; F× 3 a – R_Dy× a = 0

или

F× 3 a – R_D × a× sin = 0.

Значение тригонометрических функций определим из треугольника АСD:

cos a = АC/CD = 0,89; sin a = AD/CD = 0,446.

Решая уравнение равновесия, получим R_D = 5,38 kH (тяга СD – растянута).

Для проверки правильности вычисления усилия в тяге CD необходимо вычислить хотя бы одну из составляющих опорной реакции R_A. Воспользуемся уравнением равновесия в виде

SF_y = 0; V_A + R_Dy – F = 0,

или

V_A = F – R_Dy . Отсюда V_A = -1,6 кН.

Знак минус означает, что вертикальная составляющая реакции R_A на опоре направлена вниз.

Проверим правильность вычисления усилия в тяге. Используем еще одно условие равновесия в виде уравнений моментов относительно точки В.

Sm_B = 0; V_A × 3 а + R_Dy× 2 a = 0;

-1,6×3 а + 5,38×0,446×2 а = 0; 0 = 0.

Условия равновесия соблюдаются, следовательно, усилие в тяге найдено верно.

ЛИТЕРАТУРА

Олофинская, В. П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий: Учебное пособие. – 2-е изд. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. – 349 с. Режим доступа: https://www.twirpx.com/file/98352/