Интервалы при больших выборках




Использование асимптотической нормальности оценок.

Пусть по выборке x = (ξ1, ξ2…ξ n) оценивается неизвестный параметр а, и пусть оценка â = â (x) асимптотически нормальна со средним а и дисперсией , зависящей от неизвестного параметр а. Рассмотрим нормированную погрешность

. (16)

Эта случайная величина распределена приближенно по нормальному закону N (0,1) при любом значении параметра а. По заданному значению доверительной вероятности PД определяем симметричный интервал(- f P, f P), который несет в себе вероятность PД нормального N (0,1) распределения, и потому при любом значении параметра а верно приближенное соотношение:

P {çj(x, a)ç < f PPД, .

Полагая монотонность j по a и разрешая под знаком вероятности неравенства

, (16а)

относительно а, получим соотношение

,

верное при любом значении параметра а. Это означает, что является доверительным интервалом для параметра а с коэффициентом доверия, приближенно равным PД.

Замечание. Сказанное можно обобщить. Вместо оценки рассматрим z = z(ξ1, ξ2…ξ n) – некоторую статистику, распределенную приближенно нормально с мат. ожиданием m (a) =Mz и дисперсией s2 (a) =Dz. Пронормировав z, вместо (16), получаем с.в.:

j(z, а)=

Все остальное будет справедливым, в результате получим доверительный интервал.

Примеры

А. доверительный интервал для вероятности. Пусть Р (А) = а — неизвестная вероятность некоторого события А, и x — число появлений А в серии n независимых испытаний. Несмещенной оценкой для а является , которая по теореме Муавра-Лапласа при больших значениях числа испытаний n является асимптотически нормальной с параметрами

, ,

и потому нормированная погрешность

распределена приближенно по нормальному закону N (0,1) при любом значении параметра а. Разрешая неравенство (16)

< f P2

относительно а, получаем доверительный интервал , где а 1, а 2 — корни соответствующего квадратного уравнения

а 1,2 = .

При больших n формула упрощается:

а 1,2 » .

При малых значениях n, когда нельзя пользоваться приближенной нормальностью, пользуются статистическими таблицами, в которых для заданных n и P Д и полученному значению оценки â указаны левый и правый концы интервала. Вставить номограмму

Б.Доверительный интервал для коэффициента корреляции. Пусть имеется пара случайных величин (x, h), для которых по имеющейся выборке (x1, h1), (x2, h2)…(x n, h n) нужно определить доверительный интервал для коэффициента корреляции

.

напомним практический смысл: прогноз:

Методом моментов получаем оценку для r: ,

где обозначено

, .

Если распределение случайных величин (x, h) является нормальным, оценка распределена при больших n приближенно нормально [4], причем

М = r, D = .

Этого достаточно, чтобы определить приближенный доверительный интервал. Однако, более удобным является другой способ, основанный на преобразовании z Фишера:

z = z () = .

Эта статистика распределена приближенно (при n 20) по нормальному закону [4] со средним

mz (r

и дисперсией s2 » 1 / (n – 3), а статистика

~ N (0,1)

приближенно нормальна. Доверительный интервал для r получаем из неравенства

,

где f P = Q((1 + P Д) / 2) — квантиль уровня (1 + P Д) / 2 нормального распределения. В статистических таблицах (например, [4]) даны интервалы для заданных n, P Д и . Для примера укажем, что при P Д = 0,95 и = 0,8 интервалы составляют:

(0,32; 0,95) при n = 10 и (0,53; 0,92) при n = 20.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2022-10-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: