Бывает лучше упростить матрицу, чтобы видеть, какие миноры равны 0 или не равны 0. Как и при вычислении определителей, можно прибавлять к строке другую строку, умноженную на число, то же самое со столбцами. Но при нахождении ранга даже больше возможных действий, чем при вычислении определителя: можно менять местами строки (столбцы), умножать строки (столбцы) на коэффициент. Дело в том, что соответствующие миноры в этом случае меняют знак или умножаются на с, но ведь свойство быть равными 0, либо не равными 0, от этого не меняется!
Если число 
, то 
и 
.
Пример.
из 2-й строки вычесть 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю. 
теперь из 3-й строки вычтем 2-ю 
. Ниже главной диагонали получились нули.
Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.
Ранее упоминали, что матрицы естественным путём связаны с системами векторов.
Определение. Пусть 
- система векторов. 
- константы. Тогда вектор 
называется линейной комбинацией векторов .
(А если все коэффициенты = 1, то это просто сумма векторов).
Пример. 
. Пусть коэффициенты 2 и 1. Линейная комбинация это вектор (3,4,5): 2(1,1,1)+1(1,2,3) = (3,4,5).
В пространстве, рассмотрим 3 вектора: (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1). Любой вектор 3-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию этих трёх векторов.
* Если все коэффициенты 0, то линейная комбинация есть 0 вектор в любом случае, какими бы ни были векторы.
* Рассмотрим векторы (1,0) и (-1,0). Если их сложить, то получим (0,0). Видим, что бывают ситуации, когда линейная комбинация ненулевых векторов - это нулевой вектор, даже если ненулевые коэффициенты! Аналогичная ситуация, если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. В связи с этим возникает определение линейно-зависимой и линейно-независимой системы векторов.
Определение. Если из равенства 
следует, что 
, то система векторов называется линейно-независимой системой (ЛНС). Если же существует набор ненулевых коэффициентов 
, такой, что линейная комбинация = 0, то система называется линейно-зависимой системой (ЛЗС).
Примеры. * Если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. Коэффициенты 1,1,-1.
* если 2 вектора коллинеарны, то они образуют ЛЗС.
Лемма. Если система векторов содержит вектор 
, то она ЛЗС.
Докажем этот факт. Коэффициент при 0-векторе может быть любым числом, т.к. он всё равно не влияет на сумму векторов, а значит, существует набор коэффициентов, в котором не все нули, и значит, формально по определению такая система векторов ЛЗС.
Теорема. Система линейно зависима 
хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
Необходимость. Если система ЛЗС, то , при этом хотя бы при каком-то векторе ненулевой коэффициент, тогда это слагаемое можно перенести в другую сторону и разделить всё равенство на этот коэффициент. Для определённости, например, пусть это будет n-й коэффициент. Тогда
, и 
, последний вектор выражен через остальные.
Достаточность. Если какой-то вектор выражен через остальные, его можно перенести в другую сторону равенства, ко всем остальным векторам, то есть в записи ему будет соответствовать коэффициент (-1).
Так, если выражен 1-й вектор, то 
, тогда 
. Получается, что ненулевой набор коэффициентов есть, а значит, система ЛЗС.
Определение. Максимальная линейно-независимая подсистема называется базисом системы векторов, а число векторов в ней - рангом системы векторов.
Пример. Если в плоскости есть 2 неколлинеарных вектора, и добавлены 100 векторов в той же плоскости, r = 2.
* 3 вектора, из которых 2 коллинеарны. Ранг = 2.
* 3 вектора, из которых все 3 коллинеарны. Ранг = 1.
Как видим, было 2 подхода к понятию ранга: ранг системы (число векторов в максимальной независимой подсистеме) и ранг матрицы (порядок наибольшего невырожденного минора). На самом деле, не случайно используется одно и то же слово: если матрицу мысленно разрезать на строки, будет система векторов, и у неё ранг точно такой же, как был у исходной матрицы. Аналогичное верно и для системы столбцов. Существует такой факт:
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов).
Пример. 
здесь ранг матрицы равен 2, по крайней мере потому, что третья строка состоит из нулей. В то же самое время, если рассмотреть систему её векторов-столбцов, то видно, что третий вектор равен сумме 1-го и 2-го:
таким образом, ранг системы векторов тоже 2.