Свойство 1. Если А, В две квадратные матрицы, то 
.
Свойство 2. При транспонировании определитель не меняется: 
= 
.
Свойство 3. Если строка или столбец матрицы состоит из нулей, то 
.
Геометрический смысл: Если в системе векторов есть 0 - вектор, то объём параллелепипеда равен 0.
Свойство 4. Если поменять местами любые две строки (или два столбца), то 
сменит знак.
Это связано с тем, что при смене мест 2 элементов в перестановке меняется чётность: одна инверсия появится или наоборот, исчезнет.
Свойство 5. Если матрица содержит две одинаковых (или пропорциональных) строки или столбца, то .
Доказывается из предыдущего свойства: если в матрице две одинаковые строки, то меняя их местами, мы изменим знак, но они же одинаковы, поэтому не должен измениться. Тогда = 
, то есть . Для пропорциональных то же самое, так как можем сначала вынести коэффициент за знак определителя, и строки станут одинаковыми, а тогда .
Геометрический смысл. Если два ребра параллелепипеда коллинеарны, то фигура станет плоской, объём = 0.
ЛЕКЦИЯ № 2. 10.09.2019
Свойство 6. Если любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то 
увеличится в с раз.
Идея доказательства: если в каждом произведении элементов один из них умножен на с, то вся сумма, состоящая из таких слагаемых, также увеличится в с раз.
Это свойство даёт возможность выносить общий множитель за знак определителя из какой-либо строки. Геометрический смысл: Если умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножится на этот коэффициент.
Если умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличится в 
раз. Для 3 векторов в пространстве и параллелепипеда, если умножить каждый вектор на 
, то объём вырастет в 
раз.
Следствие: 6а) 
.
Свойство 7. Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов:
= 
+ 
.
то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определителях без изменения).
Доказательство проведём для произвольных матриц 2-го порядка.
(для n аналогично).
= + .
действительно: 
= 
= 
.
Для матриц большего порядка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажется суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадётся на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.
Свойство 8. Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, не изменится.
Доказательство. Если в предыдущем свойстве в роли вторых элементов взяты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то:
= 
+ 
тогда во 2-м определителе строки пропорциональны, он равен 0. То есть мы видим, что если к одной строке прибавить строку, кратную какой-то строке из этой же матрицы, определитель не изменится.
Это важное свойство даёт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычисления определителей.
Замечание. Очевидно, что можно не только прибавить, но и отнять от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент 
.
Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж:
Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a,b такая же, как для образованного векторами a, b+2a.
Из свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод Гаусса приведения к треугольной форме.
Важно! Определитель не меняется (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавлять к какой-либо другой. Если же просто умножать строку, которая находится в матрице, то определитель умножится на коэффициент (свойство 6). Это совершенно разные операции, не надо их путать.
Следствие 8 а). Если какая-либо строка матрицы является суммой других строк, то 
.
Идея доказательства: Если третья строка есть сумма первой и второй, то вычитая 1-ю и 2-ю из неё, получим строку из нулей.
Пример. Вычислить 
приведением к треугольной форме.
Заметим, что ниже углового элемента (1) число 2. Поэтому из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2. Т.е.вычесть надо строку (2 6).
= 
= 
= 1.
Пример Вычислить определитель: 
методом Гаусса (приведением к треугольной форме).
Применим свойство 8. Постараемся обнулить все элементы ниже 
.
Из 2-й строки вычтем 1-ю строку: = 
.
Теперь из 3-й вычтем удвоенную 1-ю, будет 
.
Чтобы завершить приведение к треугольному виду, вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю, получится 
. А теперь просто найдём произведение чисел по диагонали, так как привели к треугольной форме. Определитель равен 2. Ответ: 2.
Этот метод особено будет нужен в теме «системы уравнений», но, как видим, помогает и при вычислении определителей.