Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Математика - 1 семестр
Курс лекций
Учебное пособие
Для специальностей
Информатика и вычислительная техника»
Инфокоммуникационные технологии и системы связи»
Радиоэлектронные системы и комплексы»
Томск
ТУСУР
Настоящее электронное учебное пособие составлено по материалам лекций в группах 589-1,2,3, 129, 1В9 осенью 2019 года.
Оглавление по темам
| Глава 1. МАТРИЦЫ......................................................................... § 1. Действия над матрицами........................................................... § 2. Определители............................................................................ § 3. Обратная матрица...................................................................... § 4. Ранг матрицы.............................................................................. § 5. Элементы векторной алгебры................................................... Глава 2. СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ........................ § 1. Введение, основные методы решения...................................... § 2. Системы линейных однородных уравнений........................... Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.............................................. § 1. Линейный оператор и его матрица.......................................... § 2. Собственные векторы................................................................ § 3. Квадратичные формы................................................................ Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ................................. § 1. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве................. § 2. Прямая в пространстве.............................................................. § 3. Кривые и поверхности............................................................... Глава 5. ОСНОВЫМАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.............. §1. Множества и функции................................................................ §2. Пределы....................................................................................... §3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие.............................. §4. Непрерывность и точки разрыва............................................... Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...................... §1. Введение, основные методы...................................................... 2. Частные производные и градиент............................................... §3. Уравнение касательной, формула Тейлора.............................. §4. Экстремумы и строение графика функции.............................. §5. Основные теоремы дифф. исчисления...................................... |
Оглавление по номерам лекций
| Лекция № 1. 04.09.2019........................................................ Лекция № 2. 10.09.2019........................................................ Лекция № 3. 11.09.2019........................................................ Лекция № 4. 17.09.2019........................................................ |
ЛЕКЦИЯ № 1. 04.09.2019
Вводная часть. Отразмерности пространства зависят свойства распространения различных типов волн.
Сейсмические волны: энергия распределяется по сфере в 3-мерных породах, соответственно, убывает со скоростью 
.
Цунами: по поверхности воды, энергия распределяется по окружности, убывает со скоростью 
.
При меньшей кинетической энергии, цунами разрушительно на более далёких расстояних, так как убывание энергии медленнее из-за размерности.
Глава 1. МАТРИЦЫ.
Действия над матрицами.
Объединение информации о нескольких векторах в прямоугольную таблицу, называемую матрицей. Важность роли матриц в геометрии.
Пусть в плоскости даны 2 вектора, каждый имеет по 2 координаты, тогда можно построить матрицу 2 порядка.
Матрица, соответствующая этой векторной системе 
.
Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.
Понятие определителя 2-го порядка. Если дана матрица 
, то число 
называется определителем этой матрицы.
Обозначается: 
.
(произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).
Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.
Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2,1) и (1,2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче.
Пример. 
.
Оказывается, что модуль этой величины соответствует площади параллелограмма, построенного на основе двух векторов 
, 
.
Докажем этот факт. Доказательство (ДОК 1).
Построим чертёж.
Перенесём закрашенную зелёным часть вниз, теперь мы уже получили такой прямоугольник, у которого одна сторона лежит на оси. Его высота 
. Длина основания это разность 
, где абсциссу 
можно найти, вычислив с посощью пропорции, ведь вектор 
пропорционален вектору . 
. Тогда произведение основания на высоты равно 
= .
Если векторы поменять местами, то определитель сменит знак,
, тогда не сама величина, а её модуль равен площади параллелограмма.
Теперь рассмотрим произвольные матрицы.
Определение матрицы. Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел (либо других объектов, например, функций), содержащая m строк и n столбцов.
Каждый элемент обозначается 
, где 
это номер строки, в которой он расположен, а 
- номер столбца.
Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов).
Если 
, то есть матрица А имеет размер 
то она называется квадратной матрицей порядка n.
Примеры матриц из жизни:
1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников.
2. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время.
Сложение и вычитание матриц размера .
Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов и 
.
Пример: 
+ 
= 
.
Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице 
все элементы умножены на коэффициент 
, то есть равны 
.
Транспонирование матрицы. Это довольно простая операция, и она вводится так. Если все пары элементов и 
поменять местами, то получившаяся матрица называется транспонированной, она обозначается 
.
Умножение двух матриц.
* Надо вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов: 
Если даны две матрицы, одна размера , другая 
, то их размеры называются согласованными. Такие матрицы можно умножать друг на друга.
Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует 
всевозможных скалярных произведений строк (1-й матрицы) на столбцы (2-й матрицы). Именно из них и состоит произведение, это матрица размера
Примеры. 
= 
.
= 
.
Для матриц размеров и 
существуют оба произведения, 
и 
. Но произведение 
в примере выше оказалось бы не матрицей 2 порядка, а 3 порядка, то есть из 9 элементов.
Умножение квадратных матриц.
В этом случае размеры всегда согласованы, и произведение - это тоже матрица .
2 примера: 
= 
, = 
обратите внимание, что даже для квадратных матриц далеко не всегда выполняется закон коммутативности, здесь 
.
Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть 
. Но как мы видели только что, матрица из всех единиц этим свойством не обладает, а вот если единицы только по главной диагонали, а вокруг - нули, то такое свойство будет выполняться.
Единичная матрица Е. Строение: 
, 
при 
.
2-го порядка: 
, 3 порядка: 
= и = .
(Аналог среди матриц первого порядка: число 1). Итак, .
Здесь у вас может возникать естественный вопрос, зачем умножение ввели именно таким непростым образом, и почему нельзя было определить его тоже покомпонентно для пары матриц размера , как и для сложения. Это мы тоже сейчас обоснуем подробнее.
При таком способе умножения матриц, как мы ввели выше, выполняется важное свойство: 
, то есть определитель произведения матриц равен произведению определителей. А это связано с важными геометрическими свойствами в дальнейшем. Если же умножение ввести покомпонентно, это свойство не выполняется.
Докажем (ДОК 2), что , рассмотрим основной смысл доказательства для матриц 2 порядка.
= 
.
= 
=
.
Далее найдём 
= 
= 
=
.
Эти выражения равны. Ниже зелёными линиями показаны, какие соответствуют друг другу, а остальные 4 элемента в первом выражении просто сокращаются между собой.
(для матриц 3 и более высокого порядка идея аналогичная, но гораздо больше элементов).
Свойства действий над матрицами:
Коммутативность: 
(по сложению).
Коммутативность по умножению не выполняется (говорили ранее).
Свойства, связанные с ассоциативностью:
1. 
2. 
3. 
Свойства, связанные с дистрибутивностью:
1. 
2. 
3. 
4. 
Определители.
Пусть дана матрица 2 порядка. 
.
Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:
поменяем местами строки, изменится знак:
.
Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.
Если расположить первые n натуральных чисел 1,2,3,..., n в некотором порядке, возможно, не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так называемую перестановку из n чисел. Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме:
таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12).
Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инферсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно). Число 
, где k - число инверсий, определяет знак соответствующего произведения, участвующего в построении определителя
Теорема. Существует n! перестановок порядка n.
Доказательство (ДОК 3). Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21).
Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается 
что как раз равно n!, что и требовалось доказать.
В частности, при n = 3 получается 6 перестановок:
(123) (132) (213) (231) (312) (321)
На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.
Определитель 3 порядка. Примеры, методы вычисления.
= 
.
В записи определителя 3 порядка 
= 
каждому элементу соответствует перестановка из 3 чисел.
Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для 
получится (231):
для 
соответствует (123) и т.д. напишем под каждым элементом свою перестановку:
(123) (231) (312) (321) (132) (213)
Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6. Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Обозначим дугой каждую инверсию:
Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак «- », если чётное (0 или 2) то «+». То есть, умножаем на 
, где k - число инверсий. Знак каждого произведения зависит от чётности или нечётности перестановки.
Все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из них не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке или столбце? Ответ простой: ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз.
Для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 4!
Существует метод вычисления определителей с помощью треугольников, например, элемент 
соответствует треугольнику:
Обратите внимание, что главная диагональ здесь - это средняя линия данного треугольника. Два треугольника, соответствующие произведениям со знаком плюс, это те, для которых главная диагональ является средней линией, а мо знаком минус - если побочная диагональ является средней линией.
Запомнить метод вычисления определителей 3 порядка легче всего с помощью произведений по 3 параллельным линиям.
Надо дописать копии 1 и 2 столбца справа, и соединить по 3 параллельных линии: главная диагональ и параллельные ей (показаны зелёным цветом), затем побочная диагональ и параллельные ей (показаны красным). Умножить тройки чисел по 3 зелёным линиям, и взять их со знаком «+» а по красным прибавить со знаком «—». (Кстати, вместо столбцов справа можно дописать две строки снизу, и получится то же самое).
Пример. 
.
Построим указанную схему (с помощью параллельных линий):
+ 
+ 
= 
= 5.
Ответ. 5.