Запишем разложение определителя порядка 3.
= 
.
Вынесем за скобку элементы первой строки (они есть в 2 из 6 слагаемых): 
.
То, что получилось в скобках, называют алгебраическими дополнениями элементов соответственно 
.
Выражение в 1-й скобке 
называется алгебраическим дополнением к элементу 
, соответственно
- алгебраическим дополнением к 
, 
- алгебраическим дополнением к 
.
Заметим, что 
, 
, 
.
Если для элемента 
и вычеркнуть всю строку и весь столбец, где он находится, образуется подматрица порядка (n-1). Определитель подматрицы порядка (n-1), которая получилась путём вычёркивания строки номер i и столбца номер j, называется дополняющим минором к элементу . Всего таких миноров 
, например для матрицы 3 порядка их будет 9 штук. Минор, соответствующий элементу , обозначается 
.
Мы видим, что в одних случаях алгебраическое дополнение равно минору, а где-то противоположно ему по знаку. Взаимосвязь алгебраических дополнений и миноров для произвольных i,j:
, то есть знаки меняются в шахматном порядке, для верхнего левого элемента 
знак «+».
Итак, определители можно вычислять разложением по строке:
= 
.
Общая запись в произвольных обозначениях: 
.
Разложение возможно по любой строке или по любому столбцу. Так, например, в той же рассмотренной ранее записи можно собрать пары слагаемых, содержащих 
и точно так же вынести за скобку, получится 
= 
=
= 
здесь чередование знака начинается с минуса, что и должно быть в соответствии с шахматным порядком, о чём сказано выше.
Теорема. Если матрица треугольная, то 
.
Доказательство.
Пусть дан определитель 
.
Если разложить его по первому столбцу, где всего один ненулевой элемент и остальные 
нулей, то сразу переходим к минору меньшего порядка:
+ 0 +... + 0.
для него получается аналогичное действие, тогда на следующем шаге получаем 
умножаются на определитель треугольной матрицы, у которой угловой элемент 
. Продолжая этот процесс, получим 
.
Замечание. Для диагональных матриц верен такой же факт, ведь диагональная это частный случай треугольной.
Пример.
= 
= 
= 
= 6.
Приведение к треугольному виду очень часто используется для вычисления определителей. Метод Гаусса, который будет подробно изучен в теме «системы уравнений», в полной мере может применяться и для вычисления определителей. Если обнулить элементы ниже главной диагонали, то вычисление определителя сильно упростится.
§ 3. Обратная матрица.
Определение. Матрица называется вырожденной, если 
, и невырожденной, если 
.
Определение. Пусть 
- квадратные матрицы. Если 
то 
называется обратной матрицей для матрицы 
.
Обозначение: Обратная матрица обозначается 
.
Замечание. Для чисел, которые являются матрицами порядка 1, обратный элемент вычисляется известным образом, например 
, 
.
Докажем, что не существует различных «обратной слева» и «справа» матриц. Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, ведь можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны.
Лемма. Если 
и 
, то 
.
Доказательство. Пусть и . По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: 
.
Но тогда получается 
, то есть .
Итак, 
. Но оказывается, что не для любой квадратной матрицы существует обратная.
Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.
Доказательство. Для доказательства рассмотрим 
. Если 
то 
, то есть существовало бы такое число, которое при умножении на 0 даёт результат 1, но это невозможно. Получили противоречие.
Формула вычисления элементов обратной матрицы: 
.
Алгоритм нахождения ,.
1. Проверить невырожденность с помощью определителя.
2. Составить матрицу из дополняющих миноров Mij.
3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)i+j, где i,j - номера строки и столбца.
Получатся алгебраические дополнения Aij.
4. Транспонировать полученную матрицу.
5. Поделить на определитель исходной матрицы.
Пример. Найти 
.
Решение. 
. Вывод: 
, существует обратная матрица.
Матрица из миноров: 
.
Матрица из алг. дополнений: 
.
Транспонируем её: 
.
Делим её на определитель, и записываем ответ: = 
.
Можно сделать проверку: 
= 
.
Пример. Найти обратную матрицу: 
Решение. 1) 
. , существует .
2) Запишем матрицу, состоящую из всех возможных миноров 
, которых существует 9 штук: 
= 
.
3) Матрица из алгебраических дополнений: 
.
(т.е. в шахматном порядке изменили знаки, там где сумма номеров строки и столбца нечётна).
Транспонируем её: 
. Делим на определитель, равный 2, итог: = 
.
ЛЕКЦИЯ № 3. 11.09.2019
§ 4. Ранг матрицы.
Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k2 элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.
Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы.
Обозначается 
. Примеры:
Матрица размера 
ранга 2. 
. Здесь есть невырожденный минор порядка 2, 
.
Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.
поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак, 
. Цветом закрашен базисный минор.
А вот если в правом нижнем углу будет не 0, а 1, то ранг такой матрицы станет равен 3:
ведь теперь найдётся минор 3-го порядка, отличный от нуля:
Ранг прямоугольной матрицы размера 
меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.
Пример. Матрица ранга 1. Здесь 2 строка пропорциональна 1-й, а третья вообще нулевая: 
Матрица А является матрицей ранга 0 
она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже является минором 1 порядка, то есть ранг не 0, а уже 1).
Базисный минор порядка 
может быть не единственным, их может быть и несколько. Так, например, в матрице:
мы видим по крайней мере 2 различных минора порядка 2.
