Скалярное произведение векторов.




Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), обозначаемое как (или просто ) и определяемое соотношением

.

Основные свойства этой операции

1. свойство симметрия ;

2. дистрибутивное свойство ;

3. для любого вещественного ;

4. , причём тогда и только тогда, когда .

 

Величина называется модулем (длиной)вектора .

Для любых двух векторов и справедливо неравенство Коши-Буняковского .

 

Векторы и называются коллинеарными, если . Практически это означает, координаты этих векторов пропорциональны.

 

Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: .

 

Вещественное линейное пространство называется евклидовым пространством, если в нём определено скалярное произведение элементов. В евклидовом пространстве удобно использовать базис , все элементы которого взаимно ортогональны и имеют единичную длину, т.е.

 

,

 

где - символ Кронекера.

Такие базисы называются ортонормированными и существуют в любом евклидовом пространстве. В ортонормированном базисе координаты вектора можно представить в виде , а разложение вектора по базису

.

 

Введение в рассмотрение скалярного произведения позволяет в дальнейшем использовать такие геометрически содержательные понятия, как ортогональность, угол и длина. Эти свойства широко используются при объяснении (обосновании и изложении) метода наименьших квадратов, в частности получении системы нормальных уравнений, а также для объяснения свойств МНК – оценок.

 

3. Матрицы, операции над матрицами.

 

Прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, называется матрицей (точнее, числовой матрицей). Пара чисел и называются размером (порядком) матрицы. Обозначаются матрицы следующим образом: или

 

.

 

Числа , составляющие матрицу, называются её элементами.

В случае, если , матрица называется квадратной, а число - порядком матрицы.

Матрицу размера называют матрицей – строкой, а матрицу размера - матрицей – столбцом. Очевидно, что матрица размера может рассматриваться как элемент векторного пространства .

Главной диагональю квадратной матрицы размера называется совокупность элементов .

Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается .

 

Две матрицы и называются равными, если они одинакового размера и соответствующие элементы равны.

 

Определим основные операции над матрицами.

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, определяемая равенством

 

 

,

 

т.е. при сложении матриц их соответствующие элементы складываются.

 

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, определяемая равенством

 

,

т.е. при умножении матрицы на число все элементы этой матрицы умножаются на это число.

 

Операции сложения и умножение матриц на число обладают следующими свойствами:

· коммутативностью ;

· сочетательное ;

· дистрибутивностью умножения на число относительно суммы матриц ;

· дистрибутивностью умножения относительно суммы чисел ;

· сочетательным .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается . С помощью нулевой матрицы можно сформулировать такие свойства:

· .

 

Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы матрицы с сохранением порядка их следования. Полученная в результате этой операции матрица называется транспонированной и обозначается . Таким образом

 

.

 

Для операции транспонирования справедливы следующие очевидные свойства

· ;

· .

 

Произведением матриц размера и размера называется матрица размера (обозначается ), элементы которой определяются по формуле

 

.

 

В том случае, когда произведения матриц определены, будут справедливы следующие свойства:

· сочетательное ;

· дистрибутивное относительно суммы или ;

· .

Следует особо отметить, что в общем случае существование произведения не влечёт за собой существование произведения .

И даже в том случае, когда оба этих произведения и существуют, они могут не равняться друг другу. Матрицы, для которых выполняется равенство , называются коммутативными.

 

Скалярное произведение двух векторов и удобно выразить в форме произведения матриц . С другой стороны, элементы произведения матриц можно рассматривать как скалярные произведения строк первой матрицы на столбцы второй.

 

Рассмотрение столбцов матрицы размера в качестве мерных векторов позволяет установить их линейную зависимость. Максимальное число линейно векторов – столбцов матрицы называется рангом по столбцам. Аналогичным образом можно сформулировать понятие ранга по строкам – для этого достаточно перейти к рассмотрению транспонированной матрицы . Доказывается, что ранг по столбцам матрицы равен рангу по строкам. Эта величина называется рангом матрицы и обозначается . Очевидно (из определения следует,), что . Для нулевой матрицы полагают .

 

Каждой квадратной матрице по определённому правилу можно поставить в соответствие число (обозначается или ), называемое определителем (детерминантом) матрицы. Для вычисления определителя матрицы можно использовать формулы

 

,

 

где - квадратная матрица порядка , которая получается из матрица вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Определитель называется минором элемента . Приведённые формулы называются разложением определителя матрицы по -му столбцу и -ой строке соответственно.

Свойства определителей, используемые при построении и исследовании эконометрических моделей, связаны с некоторыми действиями, которые не меняют его величины, а также позволяют установить равенство нулю определителя. Укажем основные из них.

· ;

· ;

· ;

· величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число;

· при перестановке любых двух строк (столбцов) величина определителя умножается на –1;

· величина определителя, содержащего две пропорциональные строки (столбца), равна нулю;

· сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю, т.е.

 

.

 

Матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля. Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу , которая по определению удовлетворяет следующим равенствам

 

 

где - единичная матрица. Для обратных матриц основными являются свойства

· ;

· ;

· ,

которые выполняются, если только существуют все входящие в соответствующие равенства матрицы.

 

Собственным вектором квадратной матрицы порядка называется ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству

 

,

 

где - некоторое вещественное число. При этом число называется собственным значением матрицы , соответствующим собственному вектору .

Очевидно, что собственный вектор определён с точностью до коэффициента пропорциональности, и поэтому обычно нормируется условием . Для нахождения собственных значений переходят к уравнению матричному , которое представляет собой однородную систему уравнений. Для существования ненулевого решения такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю, т.е. .

Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы . Корни этого уравнения будут собственными значениями матрицы . При этом учитывается кратность корней характеристического уравнения.

Если все корни характеристического уравнения простые, т.е. имеют кратность равную 1, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.


Приложение 2.

Элементы теории вероятностей и математической статистики: основные понятия и факты.

Изучение систематических курсов теории вероятностей и математической статистики является обязательным условием успешного освоения эконометрики. Справочный материал этого Приложения призван напомнить читателю основные понятия и терминологию этих предметов. Материал не претендует на полноту и математическую строгость изложения и ни коем образом не подменяет основных учебников в этой области.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-15 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: