Наиболее распространенные в эконометрических моделях распределения.

· Нормальное распределение.

Это распределение полностью определяется математическим ожиданием μ и средним квадратическим отклонением s. Плотность нормального распределения записывается в виде:

,

где .

Кривая плотности нормального распределения имеет форму симметричного колокола, см. рис.П2.1.

Рис.П2.1.Кривая плотности и интегральная кривая нормального распределения при μ=1 иs=0,8

· Логнормальное распределение

Переменная называется логнормально распределенной, если ее логарифм нормально распределен. Такая ситуация возникает, когда рассматривают распределение произведения большого числа случайных, одинаково распределенных независимых величин. Обозначим за μ математическое ожидание и за s среднее квадратическое отклонение логарифма логнормального распределения. Тогда математическое ожидание и дисперсия самого логнормального распределения вычисляются по формулам:

M(Y) = ; D(Y) = .

Из определения вытекает, что для плотности логнормального распределения справедливо соотношение

.

На рис.П2.2 отражены кривые плотности и интегральной функции логнормального распределения

Рис.П2.2.Кривая плотности и интегральная кривая логнормального распределения при μ=1 и s=0,8.

· -квадрат распределение

Пусть - нормальные независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда сумма квадратов этих величин имеет распределение с n степенями свободы. Плотность -распределения выражается формулой:

,

где Г(x)= - гамма функция, в частности Г(n+1)=n!.

На рис.П2.3 изображены кривые плотности и интегральной функции распределения

Рис.П2.3.Кривая плотности и интегральная кривая -распределения при n=10.

· Распределение Стьюдента

Пусть , а - распределенная по закону независимая от случайная величина с k степенями свободы. Тогда случайная величина распределена по закону Стьюдента (t -распределение) с k степенями свободы. На рис.П2.4 изображены графики кривых плотности и интегральной функции t -распределения с k =5 степенями свободы.

Рис.П2.4.Кривая плотности и интегральная кривая t -распределения при k=5.

· Распределение Фишера.

Если U и V независимые -распределенные случайные величины со степенями свободы n₁ и n₂, то величина

является распределением Фишера со степенями свободы n₁ и n₂.

Рис.П2.5.Кривая плотности и интегральная кривая F -распределения при n₁=5 и n₂=5.

Основные понятия математической статистики. Точечные оценки параметров.

В математической статистике исследуемую случайную величину, в общем случае – многомерную, принято называть генеральной совокупностью, а её реализации в последовательности независимых испытаний – выборкой из генеральной совокупности, или коротко – выборкой. Сами значения случайной величины принято называть элементами выборки, а их количество – объёмом выборки. Основной задачей статистического исследования является описание генеральной совокупности по имеющейся выборке. Как правило, эта задача сводится к нахождению закона распределения случайной величины или определению её числовых характеристик.

Статистикой называется любая функция элементов выборки . Очевидно, если рассматривать элементы выборки как независимые одинаково распределённые случайные величины, то и статистику следует рассматривать как случайную величину, имеющую свой закон распределения.

Любые характеристики случайной величины, полученные по выборке, называются выборочными или эмпирическими. Статической оценкой называется выборочная характеристика, используемая в качестве приближённого значения неизвестной характеристики генеральной совокупности. Так, статистической оценкой плотности распределения непрерывной случайной величины является гистограмма.

Статистическая оценка, представленная в виде числа – точки на числовой прямой, называется точечной. Пригодность использования в приложениях точечной оценки зависит от наличия у неё таких свойств как несмещённость, состоятельность, эффективность.

Пусть - случайная выборка и выборочная оценка некоторого параметра . Оценка называется несмещенной, если для любого фиксированного выполняется равенство . Это равенство гарантирует, что использование этой оценки не приводит к систематическим ошибкам.

Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к значению параметра , т.е. выполняется условие для любого . Выполнение этого условия означает, что с увеличением объема выборки возрастает наша уверенность в малом по абсолютной величине отклонении оценки от истинного значения параметра .

Оценка называется эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией по сравнению с любыми другими оценками. Эффективная оценка является наилучшей в смысле минимума среднеквадратичного отклонения оценки от истинного значения параметра .

В качестве оценки математического ожидания принято использовать среднее выборочное

Эта оценка является несмещённой, состоятельной, а в случае нормального распределения генеральной совокупности – эффективной.

Несмещенной, состоятельной оценкой дисперсии является выборочная (исправленная) дисперсия

.

Выборочная ковариация определяется формулой

,

где и - выборочные средние величин и соответственно. Величина является выборочной оценкой коэффициента ковариации . Оценкой коэффициента корреляции является выборочный коэффициент корреляции

.

И нтервальные оценки и проверка статистических гипотез.

Приложение 3