Условия стационарности для АРСС(p, q) процесса.

Рассмотрим простейшую модель - АР(1)-процесс вида

,

где e_t - белый шум. Пусть y₀ - начальное условие.

В главе 9 было показано (см.(9.8)), что

. (10.14)

Вычисляя математическое ожидание получим

. (10.15)

Аналогично

. (10.16)

При |а₁|<1 и t получаем из (10.15) (см главу 9):

.

Теперь, для достаточно больших t, из (2.16) следует, что

. (10.17)

Итак, АР(1) процесс с течением времени имеет независимую от t среднюю, то есть My_t = My_{t -s} = m.

Вычисляя дисперсию y_t, имеем из (2.17)

D(y_t) = M(y_t - m)² = M[(e_t + a₁e_t-1 + (a₁)²e_t-2 +... +)²] =

= s²[1 + (a₁)² + (a₁)⁴ +...] = s² / [1-(a₁)²]. (10.18)

Выражение (10 18) конечно и также не зависит от времени.

Наконец, вычислим автоковариации

M[(y_t - m)(y_t-s - m)] = M{(E_t + a₁E_t-1 + (a₁)²E_t-2 +... +)

(E_t-s + a₁E_t-s-1 + (a₁)²E_t-s-2 +... +)] = s²(a₁)^s[1 + (a₁)² + (a₁)⁴ +...] =

= s²(a₁)^s / [1-(a₁)²]. (10.19)

Итак, автоковариации предельных значений y_t также конечны и не зависят от времени.

Мы показали, что АР(1)-процесс с ïа₁ï<1 слабо стационарны (далее будем писать просто стационарны) в пределе. Это значит, что при исследовании экономических временных рядов, если описываемые процессы имеют недолгую историю, велика опасность нестационарности. Осторожные исследователи часто исключают ранние наблюдения из анализа.

Выпишем решение (9.9) уравнения АР(1) из девятой главы без использования начального условия y₀. Получаем

, (10.20)

где А - произвольная постоянная. Вспомним, что произвольная постоянная А интерпретировалась как отклонение от долгосрочного равновесия. Ясно, что для стационарности необходимо, чтобы А(а₁)^t = 0. Значит, либо А = 0, либо а = 0.

Итак, получаем условия устойчивости:

1. Однородное решение должно быть равно нулю. Поэтому, либо последовательность значений y_t должна находиться бесконечно далеко от начала процесса (а = 0), либо процесс должен быть в состоянии равновесия.

2. Характеристический корень а₁ должен быть по абсолютной величине меньше 1.

Эти два условия легко обобщаются на общие АРСС(p, q)-процессы. Однородное решение в общем случае имеет вид

или, в случае повторения корней

,

где А_i представляет p-произвольных значений, a-повторяющийся корень и a_i - (p-m)-различных корней.

Рассмотрим теперь стационарные АРСС(2, 1)-модели:

y_t = a₁ y_t-1 + a₂ y_t-2 + e_t + b₁ e_t-1 (10.21)

Можно показать, что если характеристические корни (10.21) лежат в единичном круге, то {y_t} генерируют стационарную последовательность.

Рассмотрим теперь модели скользящего среднего. Рассмотрим СС()-процесс (СС(q)-процесс является частным случаем).

Пусть

,

где {e_t} - белый шум с дисперсией s². Ранее мы выяснили, что х_t не является белым шумом. Теперь проверим условие стационарности.

M(x_t) = M(e_t+ b₁e_t-1 + b₂e_t-2 +...) = M(e_t) + b₁M(e_t-1) + b₂ M(e_t-2) +...= 0

Повторяя процедуру с x_t-s, имеем

M(x_t-s) = M(e_t-s + b₁e_t-s-1 + b₂e_t-s-2 +...) = 0.

Далее,

D(x_t) = M[(e_t + b₁e_t-1 + b₂e_t-2 +...)²].

Возведем выражение в скобках в квадрат и вычислим математическое ожидание, учитывая свойства белого шума

D(x_t) = M(e_t)² + (b₁)²М(e_t-1)² + (b₂)²М(e_t-2)² = s²[1 + (b₁)² + (b₂)² +... ].

Если ряд сходится, то дисперсия конечна и не зависит от t.

Вычислим автоковариации

M(x_t, x_t-s) = M[(e_t + b₁e_t-1 + b₂e_t-2 +...)(e_t-s + b₁e_t-s-1 + b₂e_t-s-2 +...)].

Учитывая, что M(_t, E_t-s) = 0 для s¹0, получим

M(x_t, x_t-s) = s²(b_s + b₁b_s+1 + b₂b_s+2 +...).

Если ряд в скобках сходится, то ковариация конечна и зависит только от величины сдвига s, но не от времени t.

Суммируя сказанное получаем, что необходимые и достаточные условия стационарности заключаются в сходимости рядов

1) ,

2) b_s + b₁b_s+1 + b₂b_s+2 +... < , s ¹ 0.

Если полагать, что b₀ = 1 и 2) справедливо и для s = 0, то можно обойтись одним условием 2).

Отсюда сразу следует, что любой СС(q)-процесс с конечным q всегда стационарен, так как ряд 2) в этом случае имеет конечное число слагаемых.

Рассмотрим теперь авторегрессионную модель

. (10.22)

Если характеристические корни однородной части уравнения (2.22) все лежат внутри единичного круга, то частное решение можно представить формулой

, (10.23)

где - неопределенные коэффициенты и ряд образует сходящуюся последовательность.

Можно показать, что последовательность {a_i} является решением системы уравнений

a_i - a_ia_i-1 - a₂a_i-2 -... - a_pa_i-p = 0. (10.24)

Отметим, (10.24) является СС(q)-процессом, который изучался выше. Сходимость ряда (10.24) влечет сходимость ряда . Следовательно, можно использовать (10.24) для проверки трех условий стационарности. Отметим, что a₀ = 1.

Итак,

1) My_t = My_t-s =

Из результатов предыдущей главы известно, что условие ¹ 0 является необходимым для того, чтобы характеристические корни лежали внутри единичного круга.

2) Dy_t = M[(e_t + a₁e_t-1 + a₂e_t-2 + a₃e_t-3 +...)²] = s² .

Аналогично

Dy_t-s = M[(e_t-s + a₁e_t-s-1 + a₂e_t-s-2 + a₃e_t-s-3 +...)² = s² .

3) Cov(y_t, y_t-s) = M[(e_t + a₁e_t-1 + a₂e_t-2 +...)(e_t-s + a₁e_t-s + a₂e_t-s +...)] =

= s²(a_s + a_s+1a₁ + a_s+2a₂ +...).

Итак, средняя, дисперсия и ковариации конечны и не зависят от времени t и сдвига t-s.

Ничего существенного не изменится, если соединить АР(p) и СС(q) модели в общую АРСС(p, q)-модель,

, (10.25)

. (10.26)

Если корни обратного характеристического уравнения лежат вне единичного круга, (а значит корни однородного характеристического уравнения в (10.25) лежат внутри единичного круга) и{x_t} - стационарная последовательность, то {y_t} - последовательность тоже стационарная.