РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ

9.1. Уравнения первого и второго порядков

Пусть дана функция . Тогда первая разность определяется формулой

(9.1)

В отличие от дифференциального исчисления мы не предполагаем, что h стремится к нулю. Так как большинство экономических данных собираются через определенные равные промежутки времени, полезно считать, что . Более того, обычно полагают период между наблюдениями нормализованным, то есть выбирают (1 месяц, 1 квартал, 1 год). Поэтому мы можем записать первые разности в виде

и т.д.

Тем же путем мы сформируем вторую разность как изменение первой разности. Рассмотрим

Аналогично определяется разность ого порядка:

Так как в настоящей книге в основном рассматриваются линейные модели временных рядов, мы изучим только один специальный случай линейного разностного уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами, а именно, уравнение вида

(9.2)

Порядок разностного уравнения задается показателем n (максимальной величиной шага запаздывания или, другими словами, максимальным лагом). Уравнение считается линейным потому, что все значения зависимой переменной y входят в него в первой степени.

Коэффициенты называются параметрами уравнения (1.2) и не зависят от значений x и y. Переменная x представляет возмущающий процесс и может зависеть от времени, текущего и прошлого значений других переменных или иметь стохастический характер изменения. Соответственно выбирая возмущающий процесс x, можно получить широкий спектр важных макроэкономических моделей.

Рассмотрим, например, стохастическую версию классической модели Самуэльсона (1939 г.):

(9.3)

где означают соответственно реальный общий национальный продукт (real GNP), потребление и инвестиции в момент времени t. Слагаемые и имеют нулевые средние и объясняют случайные возмущения в потреблении и инвестировании.

Преобразуем кейнсианскую модель (9.3) производства и потребления к виду

(9.4)

Уравнение (9.4) выражает теперь как функцию от собственных запаздываний (лагов) и возмущающих членов. Выберем возмущающий процесс в виде

.

и получим разностное линейное уравнение второго порядка вида (9.2). Отметим, что в уравнении (9.4) отсутствует свободный член, то есть

Важный частный случай для последовательности мы получаем при где – константы, а не зависят от y. При этом можно полагать, что является последовательностью неопределенных внешних (экзогенных) переменных. Например, если – последовательность случайных ошибок наблюдений и положить , то уравнение (9.2) становится уравнением авторегрессии:

Пусть Тогда мы получаем модель случайного блуждания (random walk model), которая широко используется в дальнейшем.

Другой полезный пример дает уравнение

. (9.5)

Можно проверить, что решением этого разностного уравнения первого порядка является функция

(9.6)

Перейдем к методам решения разностных уравнений.

Метод итераций (последовательных приближений).

Обозначим известное значение функции y в момент времени 0 за y₀. Рассмотрим разностное уравнение первого порядка

(9.7)

Подставляя y₀ в (9.7), получаем

Тем же путем находим

Продолжая процесс, найдем y₃

Для итерации с номером t получаем решение уравнения (9.7):

. (9.8)

Предположим теперь, что начальное значение y₀ не известно. Тогда при движении “назад” заменим y₀ на итерацию “назад” В результате получаем

Предполагая, что и сдвигаясь назад на m периодов (), получаем и Тогда

Можно показать, что полученное решение уравнения (9.7) не единственное. Решением уравнения (9.7) будет при любом С и выражение

(9.9)

Выражение (9.9) как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка представляет сумму общего решения однородного разностного уравнения вида (9.2) и частного решения неоднородного уравнения (9.7).

Рассмотрим теперь случай . Тогда движением “назад” получаем решение в виде: В отличие от предыдущего случая теперь ошибки не убывают, а накапливаются.

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка

. (9.10)

Будем искать решение уравнения 2-го порядка в том же виде:

Подставляя это выражение в (9.10), получаем

(9.11)

Разделив обе части (9.11) на , получим характеристическое уравнение При решении характеристического уравнения могут возникнуть три случая.

1. Дискриминант и существуют два действительных различных корня уравнения. Тогда

Если абсолютное значение хотя бы одного из корней или превышает единицу, то однородное решение имеет “взрывной” характер при .

2. Если , то общее решение получается в виде:

Решение носит “взрывной” характер, если . Если , то из-за слагаемого поведение общего решения не так ясно. В итоге решение стремится к нулю, но вначале может носить “взрывной” характер.

3. Если , то и характеристические корни комплексные. В этом случае однородное решение может быть получено в виде , где произвольные постоянные, , а удовлетворяет соотношению Тригонометрическая функция создает волнообразное поведение решения однородного уравнения. Частота колебаний определяется параметром . Амплитуда колебаний определяется множителем . Если , то амплитуда не меняется. Колебания затухают при и растут при .

Характеризация условий устойчивости. В случае существования двух корней характеристического уравнения для устойчивости требуется, чтобы оба корня находились внутри промежутка (-1.1). В случае совпадающих характеристических корней условие устойчивости принимает вид Для комплексных корней в случае 3 () условие устойчивости следующее: