Гармонический анализ временных рядов

Предположим временной ряд Y(t) может быть представлен в виде суммы

Y(t) = q(t) + P(t) + e(t), (5.18)

где q(t) — непериодическая составляющая Y(t) (обычный тренд), P(t) — периодическая составляющая, e(t) — остатки ряда. После удаления тренда q(t) одним из методов, описанным в предыдущей главе, в остатках ряда Y(t) – q(t) будет присутствовать периодическая составляющая P(t). Это приведет к обнаружению автокорреляции в остатках при проверке по критерию Неймана или Дарбина–Ватсона. Рассмотрим методы выделения периодической составляющей тренда временного ряда.

Задача гармонического анализа – определить основные гармонические колебания, входящие в периодическую составляющую ряда P(t) и определяющие основные закономерности развития исследуемого процесса.

Рассмотрим математическую постановку задачи гармонического анализа.

Пусть на конечном интервале [– L; L] задана функция X(t) = P(t) + e(t), где P(t) — периодическая функция, а e(t) — случайная составляющая, причем M(e(t)) = 0, D(e(t)) = s 2.

Функция P(t) считается полностью определенной, если известны период Т (или частоты w = 2 p /T) и коэффициенты ряда Фурье

P(t) = . (5.19)

Задача считается решенной, если определены параметры a_k,b_k,w..

Будем искать расчетную функцию Q(t):

(5.20)

где A₀ = M(X(t), A_k,B_k — неизвестные параметры, а w_k — соответствующие частоты. Определим эти параметры с помощью метода наименьших квадратов (МНК), минимизируя функцию

(5.21)

В (5.21) n — означает число наблюдений, которое должно быть больше числа неизвестных 2 m + 1.

Доказано (см., например, [Вайну [1]), для выбранных заранее w_k , решение задачи МНК может быть получено в виде:

(5.22)

Следует отметить две основные трудности возникающие при гармоническом анализе временного ряда: 1) определение частот w_к и 2) вычисление интегралов по формулам (5.22).

5.8. Контрольные вопросы к главе 5 «Методологические вопросы прогнозирования временных рядов»

1. Расскажите об основных принципах прогнозирования экономических процессов — системности, адекватности, альтернативности.

2. Что такое метод и модель прогнозирования?

3. Что такое случайный процесс?

4. Какие характеристики случайного процесса вы знаете?

5. Какие условия характеризуют стационарный случайный процесс?

6. Опишите процесс построения коррелограммы.

7. Нарисуйте схематические графики коррелограмм для различных случайных процессов — нестационарного, белого шума, стационарного процесса, временного ряда с периодической компонентой.

8. Какие подходы можно использовать для выделения тренда нестационарного временного ряда?

9. Какие проблемы возникают при наличии автокорреляции остатков временного ряда?

10. В чем заключается критерий поворотных точек для обнаружения положительной корреляции остатков ряда?

11. Расскажите о порядке использования критериев Неймана и Дарбина-Ватсона для обнаружения автокорреляции остатков.

12. Опишите методику и приведите расчетные формулы для получения периодической компоненты ряда методом гармонического анализа.

Глава 6

Сглаживание Временных рядов

Линейные фильтры

Одним из распространенных способов выявления тренда является сглаживание временного ряда. Его суть сводится к замене фактических значений ряда расчетными, полученными после удаления высокочастотных колебаний. Поэтому сглаживание ряда часто называют фильтрованием, а преобразование ряда (оператор), с помощью которого осуществляется фильтрование — фильтром.

Наиболее часто на практике используются линейные фильтры. Выпишем общую формулу линейного фильтра:

, (6.1)

где Y(t) — сглаженное (отфильтрованное) значение временного ряда в момент времени t; a _r — вес, приписываемый значению исходного ряда, находящемуся на расстоянии r от рассматриваемого момента времени t. Фильтр (6.1) учитывает k значений (уровней) ряда после момента времени t и l уровней до него. Число k + l + 1 – значений исходного ряда одновременно участвующих в сглаживании называется шириной интервала сглаживания. Если k = l, то сглаживание называется центрированным. Сглаженный ряд короче исходного ряда на k + 1 значение. В зависимости от выбора ширины интервала сглаживания, величины весов a _r существуют различные методы сглаживания. Самый простой метод — метод простой скользящей средней.