Выделение тренда в случае нестационарного временного ряда

Процесс выделения тренда (выравнивание ряда) состоит из трех этапов: выбора типа кривой соответствующей характеру изменения ряда; определение числовых значений параметров кривой. На третьем этапе оценивается качество подобранной модели тренда.

Применяется на практике несколько приемов, позволяющих подобрать соответствующую (адекватную) действительности форму кривой.

Первый прием, наиболее простой, визуальный, форма кривой выбирается на основе графического изображения временного ряда, формы его корреляционного поля. Корреляционным полем временного ряда X(t) называется множество точек (t, X(t)) на плоскости (t, OX), При таком подходе есть риск субъективного и произвольного выбора. Результат выбора зависит от масштаба графического изображения. Но при относительно простых конфигурациях корреляционного поля и незначительных отклонениях (помехах) от тенденции развития визуальный подход дает приемлемые результаты. Для уменьшения субъективизма следует, по возможности, привлекать всю информацию об исследуемом процессе, в том числе информацию о внутренней структуре и движущих силах процесса.

Второй подход заключается в вычислении последовательных разностей

(5.13)

Порядок разностей, при котором они становятся примерно одинаковыми, берется в качестве степени аппроксимирующего (выравнивающего) многочлена. Так, если примерно одного порядка малости оказываются первые разности , i = 2, 3, …, n, то для выравнивания берется многочлен первой степени если разности второго порядка , то и так далее.

Ясно, что такой подход не универсален, он возможен при подборе кривых описываемых многочленами. Если уравнение кривой, путем некоторого преобразования (обычно логарифмированием) можно свести к многочлену, то рассмотренный метод применим и в этом случае. Однако теперь нужно следить не за постоянством величины конечных разностей (13), а за их преобразованными значениями.

Например, уравнение гиперболы можно считать многочленом первой степени от функции 1/t. Кроме того, логарифмированием можно преобразовать к линейному виду такие функции как:

X(t) = ae^bt ® ln X(t) = lna + bt;

X(t) = ae^b/t ® lnX(t) = lna + b/t;

.

Приведем в табл. 5.1 уравнения кривых, их графики, критерии, по которым эти кривые выбираются, а также системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов (МНК) для отыскания коэффициентов этих кривых.

Данный подход менее субъективен, так как после визуального выбора кривой с использованием графиков следует проверка ее соответствия временному ряду по критерию выбора кривой (см. табл. 5.1).

Часто используются другие критерии отбора. Обычно в качестве критерия принимают сумму квадратов отклонений фактических значений от расчетных, полученных выравниванием. Выбирается кривая, которой соответствует минимальное значение критерия. Однако, минимум суммы квадратов еще не означает, что тенденция развития временного ряда описана наилучшим образом. Это объясняется тем, что через любой набор из N точек на плоскости всегда можно провести многочлен степени N-1. Поэтому, выбрав достаточно сложную кривую, можно сделать нулевой сумму квадратов отклонений расчетных значений от заданных. Но вряд ли в этом случае будет отражена тенденция дальнейшего развития процесса.

Следовательно, отбор кривых нужно проводить в два этапа. На первом этапе по большей части данных строятся различного вида зависимости X(t). Затем, по оставшимся данным (проверочной последовательности), выбирается, с помощью критерия минимума квадратов отклонений, кривая с минимальным значением критерия на проверочной последовательности. Этот подход более трудоемкий, по сравнению с подходом, описанным в табл. 5.1, но, как правило, дает лучшие результаты при прогнозировании тенденции развития временного ряда.

Автокорреляция остатков

Вычитая из данных X(t_i) выровненные значения , получаем остатки, случайную составляющую тренда

e(t) =X(t) - . (5.14)

Обычно считается, что выравнивание удовлетворительное, если остатки e(t) образуют стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием m_e(t) = M[e(t)] = 0.

Кроме того, для корректного применения МНК, необходимо более жесткое предположение, что e(t) – случайные независимые (хотя бы некоррелированные) величины с m_e(t) = 0. Если же e(t_i) коррелируют между собой, то говорят, что в модели присутствует автокорреляция остатков. Метод наименьших квадратов и в этом случае дает несмещенные и состоятельные оценки коэффициентов уравнений кривых.

Однако, получаемые при этом стандартные ошибки и доверительные интервалы для коэффициентов оказываются заниженными.

Это может привести к ошибочным выводам при оценке качества отобранной модели поведения временного ряда. Значительная корреляция остатков сигнализирует о том, что, либо кривая подобрана неудачно, либо придется строить еще одну модель для описания поведения самих остатков e(t_i).

Итак, при анализе модели тренда необходимо определить присутствует или нет автокорреляция в e(t_i). Предварительную оценку случайности поведения остатков проводят на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждое значение e(t_i) ряда остатков сравнивается с двумя рядом стоящими значениями e(t_i – 1) и e(t_i + 1).

Если e(t_i) > e(t_{i– 1} ) и e(t_i) > e(t_{i+ 1} ) или e(t_i) < e(t_{i– 1} ), e(t_i) < e(t_{i+ 1} ), то точка e(t_i) считается поворотной (в ней достигается локальный максимум или минимум). Далее подсчитывается общее количество поворотных точек P. В случайном ряду остатков должно выполнятся строгое неравенство:

P > [2 (n – 2 )/ 3 – 2 . (5.15)

Квадратные скобки здесь означают, что берется целая часть числа (не путать с процедурой округления). Отметим, что критерий поворотных точек сигнализирует только о наличии положительной корреляции в ряде остатков. Если число поворотных точек P велико, приближается к n – 2, то можно говорить о наличии отрицательной корреляции между соседними членами временного ряда остатков. Критерий поворотных точек является предварительным и его следует дополнить другими, более точными критериями.

Простейшим из известных критериев является критерий Неймана. Расчетное значение критерия

Q = F/S², (5.16)

где

(5.17)

Для доказательства положительной корреляции, вычисленное значение Q должно быть меньше Q_{кр 1,} а для доказательства отрицательной корреляции Q должно быть больше Q_{кр 2}, табл. 5.2.

Таблица 5.2

Кроме критерия Неймана для временных рядов используется хорошо изученный тест Дарбина-Ватсона (Durbin–Watson, 1951). Он основан практически на той же статистике (лишь отличается множителем n/(n – 1 ))

Этот тест подробно исследован и реализован во всех статистических пакетах, STATGRAPHICS, STATISTICA и других.

Пусть

Можно показать, что DW » 2(1 – r). Отсюда делаем вывод: чем ближе DW к двум, тем меньше автокорреляция остатков временного ряда. Более того, Дарбин и Ватсон показали, что существуют две границы d_u и d_l (u — upper) верхняя, (l — low) нижняя, которые зависят от n, числа параметров кривой и уровня значимости a. Результаты Дарбина-Ватсона можно представить в виде табл. 5.3.

Наличие зоны неопределенности, конечно, вызывает определенные трудности при использовании теста Дарбина–Ватсона. Ширина зоны неопределенности может быть значительной. Например, при n = 19, k = 3 она образует интервал (0,218; 0,463). Поэтому, многие дальнейшие исследования были направлены на построение тестов, которые сужают зону неопределенности.

Таблица 5.3