Коррелограмма и ее применение

Как было сказано выше, стационарный и нестационарный процессы отличаются друг от друга автокорреляционной функцией. Чтобы найти эту функцию вычисляют коэффициенты корреляции r_i между рядами X(t); t = i, i + 1, … n и X(t – i); t = 1, 2, …, n – i. Значения r_i, нанесенные на плоскость с осями i и r, и соединенные ломаной, называются коррелограммой. Последовательность { r_i } дает весьма глубокое представление о внутренней структуре процесса X(t). Выпишем рабочую формулу для расчета r_i.

Пусть

 

(5.8)

 

тогда

 

(5.9)

 

После упрощений получаем

 

(5.10)

 

В случае запаздывания на l шагов по времени, имеем:

 

, (5.11)

 

(5.12)

 

Надо заметить, что с увеличением запаздывания l, объем выборки по которой вычисляется r_l уменьшается и равен n – l. При небольших n это приведет к тому, что лишь большие по абсолютной величине значения r_l оказываются значимыми (например, при n = 12 и уровне значимости a = 0,05 только r₁ > 0,576 оказывается значимым). Поэтому, запаздывания l берут такими, чтобы n – l было достаточно велико для вычисления значимых r_l. На практике обычно берут l £ n/ 4. После вычисления r_l чертится коррелограмма и проводится ее анализ. Он оказывается весьма полезным при изучении закономерностей развития, описываемого временным рядом.

Интерпретация коррелограмм требует определенного навыка и не всегда легко осуществима. Рассмотрим несколько примеров динамики временного ряда и соответствующие им коррелограммы.

1. Нестационарный ряд.В случае, когда ряд имеет тренд и относительно небольшие колебания вокруг него или существует явная зависимость между прошлым и будущим ряда, коррелограмма, при тенденции ряда к росту, показывает убывание положительных r_l, при возрастании l (см. рис. 5.1a, 5.1б).

 

а б

 

Рис. 5.1

 

Причем, для моделирования процесса важно выяснить характер убывания r_l к нулю. Если убывание носит линейный или степенной характер, то говорят, что такие ряды имеют «долговременную память». К таким рядам, как показали исследования относятся ряды урожайностей сельскохозяйственных культур, ряды годовых стоков рек и другие. Если же убывание быстрое, носит экспоненциальный характер, то такие ряды имеют «кратковременную память» и могут быть описаны классом моделей, называемых моделями автокорреляции – скользящего среднего (модели Бокса-Дженкинса).

2. Полностью случайный ряд (белый шум).В этом случае наблюдаются незначимые, малые значения r_l, близкие к нулю.

3.

Рис. 5.2

Краткосрочные корреляции. Коррелограмма стационарного ряда показывает несколько высоких по абсолютной величине значений r_l, l £ L, остальные r_l при l > L близки к нулю. Этот случай может быть описан моделью авторегрессии порядка L, рис. 5.2.

 

4. Стационарный процесс. Значения процесса колеблются вокруг определенного уровня, размах колебаний не увеличивается и не уменьшается с течением времени. В этом случае коррелограмма показывает чередование затухающих положительных и отрицательных последовательных значений r_l (см. рис. 5.3).

5. Временные ряды с периодической компонентой. В этом случае, на коррелограмме, после периода затухания, появляется одно или несколько сравнительно больших по абсолютной величине значений r_l (см. рис. 5.4).

	Рис. 5.3		Рис. 5.4