Рассмотрим пример, в котором разностные уравнения используются для изучения эффекта взаимодействия потребительского спроса и спроса на инвестиции.
Изучается односекторная модель экономики, в которой существуют три составные части общего спроса: потребительский спрос, спрос на инвестиции и правительственные расходы.
Пусть потребление в год с номером 
обозначено через 
и линейно зависит от дохода в предыдущий период 
:
Ожидаемый общий спрос в году 
обозначим 
. Пусть оптимальное соотношение капитал – выпуск равно 
. Тогда количество капитала, требуемого для удовлетворения ожидаемого общего спроса, равно 
. Следовательно, к началу -ого года количество капитала составит
.
Инвестиции в течение года должны контролировать процесс накопления капитала от 
в начальный период года до 
, требуемого в начальный период -ого года. Если игнорировать амортизацию капитала, то инвестиции в год 
равны
,
поэтому
.
Предположим, что существует запаздывание (лаг) величиной в один год между заказом на инвестиции и их выполнением, то есть те капиталовложения, которые готовы приносить отдачу в период , должны быть заказаны в период 
, когда известно только значение общего спроса 
.
Предположим, что ожидаемый общий спрос в будущем приравнивается известному общему спросу в настоящий момент, то есть
.
Отсюда
.
Пусть правительственные расходы не изменяются от периода к периоду:
.
Предположения 
в совокупности дают общий спрос в период . Предполагая, что общий спрос равен общему доходу, получаем
.
После упрощений имеем
(9.16)
где 
экзогенная (внешняя), не зависящая от времени постоянная.
Уравнение ((9.16)) является линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка. Характеристическое уравнение для него имеет вид
|
|
. (9.17)
Сначала вспомним, что частное решение при постоянной правой части 
равно
.
Далее рассмотрим три случая.
1. 
. В этом случае 
. Тогда общее решение однородного уравнения
имеет вид
,
где 
и 
произвольные постоянные, а
, 
–
действительные различные числа.
Выпишем общее решение:
.
Если 
и 
, то с течением времени общий доход 
стремится к величине 
. Если же хотя бы один из корней 
или 
по абсолютной величине превышает 1, и начальные условия таковы, что и не равны нулю, то будет наблюдаться рост дохода с течением времени.
2. 
, тогда 
или 
. В этом случае 
и
.
C течением времени, если 
, может наблюдаться некоторый рост общего дохода. Однако множитель 
при 
, и доход стабилизируется, приближаясь к .
3. 
или 
. В этом случае общее решение либо выписывается с использованием комплексных корней характеристического уравнения:
,
либо, обращаясь к теореме Муавра о представлении комплексных чисел, можно получить общее решение в тригонометрическом виде
, где 
.
Рассмотрим численный пример. Пусть доля общего дохода, идущего на потребление (предельная склонность к потреблению), 
и пусть отношение капитал – выпуск 
. Кроме того, правительственные расходы 
и постоянный потребительский спрос 
. Найдем доход в течение последующих периодов времени, если начальный доход 
, а доход после первого года 
.
Выпишем характеристическое уравнение (9.17):
.
Решая его, получаем 
; 
.
Выпишем общее решение разностного уравнения в виде
.
C учетом начальных условий находим 
и 
. Получаем систему
|
|
Отсюда 
, в результате чего решение принимает вид
.
Очевидно, для больших значений рост будет в основном определяться первым слагаемым.
ЗАДАЧИ. Рассмотрите следующие два случая:
1. 
; 
Остальные предположения оставьте прежними.
2. 
; 
; 
; 
; при 
; при 
внешний спрос 
.
9.4.Контрольные вопросы к главе 9.
1. Как определить первую разность для функции 
?
2. Запишите линейное неоднородное разностное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
3. Как свести модель Кейнса-Самуэльсона производства и потребления к линейному неоднородному разностному уравнению для производственной функции y(t)?
4. Выпишите модель случайных блужданий (random walk model).
5. Как получить решение неоднородного разностного уравнения первого порядка методом итераций?
6. Запишите характеристическое уравнение для однородного разностного уравнения второго порядка.
7. Рассмотрите 3 случая построения решений для однородных разностных уравнений второго порядка.
8. Рассмотрите 3 случая построения частных решений для неоднородного разностного уравнения второго порядка.
9. Сформулируйте условия устойчивости (решение не стремится к бесконечности) для разностных уравнений различных порядков.