Процессы авторегрессии-скользящего среднего.

Скомбинируем процесс скользящего среднего с линейным разностным уравнением для получения АРСС-модели.

Рассмотрим разностное уравнение p-го порядка

. (10.6)

Пусть теперь {x_t} будет СС(q)-процесс, представленный формулой (10.5). Тогда мы получаем

, (10.7)

то есть формулу (9.1), если нормализовать (10.7) так, чтобы коэффициент₀ всегда был равен единице.

Если все характеристические корни выражения (10.6) находятся внутри единичного круга (см. условие устойчивости в главе 9), то {y_t} называется АРСС-моделью для процесса y_t.

Авторегрессионная часть модели состоит из разностного уравнения с правой частью , а остальная часть уравнения представлена скользящим средним - процессом вида (10.5). Если авторегрессионная часть содержит p-лагов, а скользящее среднее q-лагов (запаздываний), то модель называется АРСС(p, q)-моделью.

Если q = 0, то получаем чистое уравнение авторегрессии (AP(q)-модель). И если p = 0, то получаем модель скользящего среднего порядка q (СС(q)-модель). Далее, в АРСС-моделях можно предполагать, что как порядок p, так и q могут быть равны . Если характеристические корни лежат внутри единичного круга не для самого ряда а для некоторой разности , то процесс y_t называется интегрированным, и модель (10.6) называется авторегрессионной интегрированной скользящего среднего моделью (АРИСС(p,s,q)-моделью).

Рассматривая (10.7) как разностное уравнение, разрешим его относительно y_t, используя {e_t}-последовательность. Для АР(1) модели

такое представление получено в девятой главе

.

Для общих АРСС(p, q) моделей перепишем (10.7), используя оператор L - оператор запаздывания (сдвига) на единицу:

L y_t = y_t-1; L y_t-1 = y_t-2 и т. д.

Получаем

. (10.8)

Отсюда получим формальное решение

. (10.9)

Можно доказать, чтобы выражение (10.9) существовало, необходимо, чтобы характеристические корни многочлена () располагались вне единичного круга.

Это и будут условия устойчивости стохастического разностного уравнения (10.8). Будет также показано, что условия устойчивости необходимы для стационарности временного ряда y_t.

В экономике типичной является ситуация, когда доступна для наблюдения только одна реализация случайного процесса, а не множество реализаций, то есть мы имеем дело с единственным временным рядом, а не с множеством временных рядов, отражающих данный процесс за один и тот же промежуток времени.

К счастью, если {y_t} - стационарный ряд, то среднее, дисперсия и автокорреляция могут быть аппроксимированы достаточно длинным усреднением по времени единственной серии реализаций. Это означает, что среднее и дисперсия процесса имеют одно и то же значение в каждый момент времени. Более строго стохастический процесс, имеющий конечные среднюю и дисперсию, ковариационно стационарный (стационарный в слабом смысле) если для всех t и t-s

M(y_t) = M(y_t-s) = m, (10.10)

M[(y_t - m)]² = M[(y_t-s-m)]² = s_y², (10.11)

M[(y_t - m)(y_t-s - m)] = M[(y_t-j-m)(y_t-j-s-m)] = g_s. (10.12)

Такие процессы в литературе также называют стационарными второго порядка, а величины g_s называют автоковариациями s-ого порядка.

Определим автокорреляции s-ого порядка между y_s и y_t-s формулой

(10.13)

где g_s и g₀ определены в (10.12). Очевидно r₀ = 1.