Погрешность аппроксимации

Зададим на отрезке конечное множество точек (узлов) . Множество − сетка, h − шаг сетки. Обозначим подмножество множества , полученное из множества отбрасыванием крайних (граничных) узлов . Множество узлов тоже называется сеткой. Пусть также − сетка, состоящая из двух граничных узлов. Таким образом, (сетка является объединением сеток и ). На рис. 1.6 изображены сетки: в кружки помещены узлы, принадлежащие сетке , а в квадратиках расположены граничные узлы, образующие сетку .

Разностные операторы

Оператор называется разностным, если он каждой сеточной функции ставит в соответствие некоторую сеточную функцию, принадлежащую (или ).

Примеры разностных операторов:

;

;

;

Индекс i в левой части указывает номер узла, в котором оператор принимает данное справа значение. Какова бы ни была сеточная функция , в примерах 1, 3 имеем , а в примерах 2, 4 имеем .

Для удобства определение разностного оператора дано в широком смысле, не требуя явной его зависимости от разностей первого или более высоких порядков, а только от значений сеточной функции, имея также в виду, что сами значения сеточной функции можно формально считать разностями нулевого порядка.

Заменяя, дифференциальный оператор L некоторым разностным оператором , мы допускаем ошибку – погрешность аппроксимации, от величины которой будет зависеть точность решения разностной задачи.

Выясним величину погрешности аппроксимации дифференциального оператора разностным оператором для формул I−III, VI−X, используя разложение в ряд Тейлора решения дифференциальной задачи

.

Вычислим для каждой из указанных формул:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Итак, для остаточного члена справедливы оценки:

или ;

или ;

или ;

или ; или .

Порядок величины функции.

Следующие определения дают возможность сравнивать две функции.

Для сравнения порядка величин двух функций f и g употребляются символы o и O.

Если для двух функций f и g , то пишут: .

Пример 3. .

Если существует такое , что для двух функций f и g , то пишут .

Пример 4. .

Исследование сходимости разностной схемы проводится в два этапа:

1) устанавливают аппроксимацию задача (1.1) разностной схемы (1.2);

2) проверяют устойчивость разностной схемы.

Говорят, что разностная схема (1.2) аппроксимирует задачу (1.1), если

, (1.7)

величину называют погрешностью аппроксимации.

Если

, (1.8)

то говорят, что разностная схема (1.2) аппроксимирует задачу на решении с порядком s относительно h.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Пока будем рассматривать различные схемы для решения эволюционных задач.