Цель работы: Изучение стратегии принятия решений на основе метода латентных переменных.
Задачи работы: Исследование процесса принятия решений на основе метода латентных переменных.
Требования к организации рабочего места: Лабораторная работа должна проводиться в компьютерном классе с установленным пакетом MS Office.
Общие положения
Под латентными или скрытыми переменными понимают такие переменные, которые не могут быть измерены в явном виде, а могут быть только выведены через математические модели с использованием наблюдаемых переменных.
Решим задачу количественной оценки качественных альтернатив по одному критерию. Задача аналогична методу анализа иерархии, но имеются следующие отличия.
Пусть имеется матрица предпочтений проектов по критерию p’ij, имеющая смысл вероятности выбрать альтернативу Аi по сравнению с Аj. Значения этой матрицы получаются экспертно (как и в методе анализа иерархии), но их значения соответствуют следующей таблице, причем 
Оценками привлекательности проектов будут латентные переменные β i, для нахождения которых нужно решить задачу оптимизации:
После того, как найдены оценки привлекательности альтернатив, можно рассчитать их нормализованные оценки wi для данного критерия путем нормализации 
по формуле: 
Порядок выполнения работы
2.1 Рассмотрим задачу выбора лучшего проекта на примерах.
ЗАДАЧА 5
При принятии решений имеется 8 проектов A 1, A 2,…, A 8, которые оцениваются по некоторому критерию. В результате парных сравнений экспертно получена матрица вероятностей p’ij которая приведена в табл.
Матрица оценок предпочтений p’ij при парных сравнениях альтернатив
Требуется найти оценки проектов по критерию.
Решение:
Решаем задачу в MS Excel. Вводим таблицу с исходными данными (табл. 1) в ячейки А1:I9. Под оценки альтернатив выделяем ячейки А13:А20, вводим в эти ячейки произвольные числа, например единицы. Для удобства расчетов дублируем матрицу оценок в транспонированном виде в ячейки В12:I12. Для этого вводим в В12 формулу =ТРАНСП(A13:A20) (после ввода в ячейке выведется ошибка, так как не выбран массив), выделяем ячейки В12:I12, нажимаем F2 и одновременно Ctrl+Shift+Enter. Определяем матрицу вероятностей. Для этого в В13 вводим формулу =EXP($A13-B$12)/(1+EXP($A13-B$12)), с помощью автозаполнения переносим результат на ячейки В13:I20. Рассчитываем остаточную сумму. Вводим в В23 формулу =(B2-B13)^2, автозаполняем на В23:I30. Под сумму квадратов отклонений выделяем ячейку В32, вводим в нее формулу =СУММ(B23:I30).
Вызываем надстройку «Поиск решений» (Solver). В поле «Оптимизировать целевую функцию» даем ссылку на В32, указываем направление оптимизации «минимум», в поле «изменяя ячейки переменных даем ссылку на А13:А20. Проверяем наличие метки у указателя «Сделать переменные без ограничений неотрицательными», нажимаем «Найти решение», получаем результат в соответствии с рисунком.
Полученные оценки привлекательности альтернатив (ячейки А13:А20) можно нормировать на шкалу от 0 до 1. Для этого в А22 вводим подпись «Нормализованные оценки», а в В22 вводим формулу:
=(B12-МИН($B$12:$I$12))/(МАКС($B$12:$I$12)-МИН($B$12:$I$12))
Результаты расчетов приведены ниже:
Наилучшие оценки получили проекты А 3 и А 4 (у А 3 чуть выше), наихудшую оценку А 2. Для многокритериальной задачи аналогично проводится оценка проектов по всем критериям и оцениваются важности самих критериев.
Обобщим материал, приведенный в предыдущем примере, на случай нескольких критериев и рассмотрим методику принятия решения. Метод парных сравнений является одним из наиболее точных методов, которые позволяют произвести оценки альтернатив по критериям и найти оценки весов критериев. Рассмотрим способ решения задачи выбора лучшей альтернативы на примере.
ЗАДАЧА 6
Необходимо выбрать лучший проект из четырех: А, В, C и D. В качестве критериев выбора выступают: Электробезопасность (К1), Пожарная безопасность (К2), Удобство в обслуживании (К3) и Надежность (К4). Все критерии качественные и результате экспертных оценок матрицы парных сравнений альтернатив по каждому критерию и критериев между собой имеют вид:
Альтернативы (проекты)
Решение:
Откроем программу MS EXCEL. Введем исходные данные. Подготовим также поля для собственных векторов и весов, а также поля для вычисления функции полезности альтернатив. Полученная картина в листе электронной таблицы должна быть такая же, как на рисунке.
Для вычисления собственных векторов (столбцы F и М) необходимо пять раз решать задачу, аналогичную той, которая описана в предыдущем примере. Рассмотрим еще раз ее решение для первой матрицы.
Переходим на Лист 2, подготавливаем данные как на рисунке (значения в В2:Е5 можно скопировать с первой матрицы из Листа 1).
Ставим курсор в В8, вводим функцию =ТРАНСП(A9:A12) (после ввода выведется ошибка), выделяем мышью ячейки В8:Е8, нажимаем F2 и потом одновременно Ctrl+Shift+Enter. Ставим курсор в В9, вводим =EXP($A9-B$8)/(1+EXP($A9-B$8)). Автозаполняем на В9:Е12. Ставим курсор в G2, вводим формулу =(B2-B9)^2, автозаполняем на G2:J5. Ставим курсор в Н7, вводим формулу =СУММ(G2:J5). Вызываем надстройку «Поиск решений», оптимизируем целевую Н7 до минимума, в поле «Изменяя ячейки переменных» указываем ссылку на А9:А12. Без дополнительных ограничений, нажимаем сразу «Найти решение». В ячейках А9:А12 получаем значения собственного вектора для первого критерия. Копируем эти значения с Листа 2 и вставляем на Лист 1 в ячейки F3:F6.
Проделываем эту же процедуру для критерия К2. Для этого переходим на Лист 3 и выполняем там соответствующие расчеты. Чтоб не набирать все заново, можно скопировать данные с Листа 2, изменив затем В2:Е5 и поставив единицы в А9:А12. Запускаем надстройку. Данные из А9:А12 копируем на первый лист в его ячейки F9:F12.
То же делаем и для критериев К3 и К4 и весов критериев (матрица I3:L6).
При этом все расчеты проводим каждый раз на новых листах рабочей книги.
Далее вычисляем сумму элементов векторов. Для этого переходим на Лист1, Ставим курсор в F7 и нажимаем кнопку автосуммы, обводим мышкой ячейки F3:F6, указав, какие ячейки просуммировать. Результат должен выглядеть так: =СУММ(F3:F6). Аналогично в ячейке F13 выводим сумму F9:F12 =СУММ(F8:F12), в ячейке F19 выводим сумму F15:F18 =СУММ(F15:F18), в ячейке F25 выводим сумму F21:F24 =СУММ(F21:F24), в ячейке М7 выводим сумму М3:М6 =СУММ(М3:М6).
Находим теперь веса альтернатив и критериев. Для этого вводим в G3 формулу =F3/$F$7 и автозаполняем ее на G3:G6. Аналогично вводим в G9 формулу =F9/$F$13 и автозаполняем ее на G9:G12, вводим в G15 формулу =F15/$F$19 и автозаполняем ее на G15:G18, вводим в G21 формулу =F21/$F$25 и автозаполняем ее на G21:G24, вводим в N3 формулу =M3/$M$7 и автозаполняем ее на N3:N6.
На последнем этапе вычисляем функции полезности альтернатив. Вводим в I10 формулу:
=G3*$N$3+G9*$N$4+G15*$N$5+G21*$N$6
и автозаполняем данные на ячейки I10:I13. Видно, что максимальная функция полезности 0,3107 у проекта С, следовательно его нужно выбрать.
2.2 Выполнить индивидуальные задания для самостоятельной работы 5-6 из приложения А согласно своему варианту.
2.3 Оформить отчет по данной работе.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
- условие задания;
- результаты анализа данных;
- ответы на контрольные вопросы из пункта 3.
Вопросы для самоконтроля знаний
1) Поясните понятие латентной переменной.
2) В чем отличие метода латентных переменных от метода анализа иерархий?
3) В чем заключается метод латентных переменных?
4) Как вычисляются оценки привлекательности альтернатив?
Лабораторная работа 4