Точечная оценка генеральной средней по повторной собственно случайной выборке. Основные свойства оценки.




Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка x1, x2,,xk,…,xn, где Xk - СВ, выражающая значение признака у k-гo элемента выборки (k=1,2,...,n). Следует найти «наилучшую» оценку для генеральной средней.

Рассмотрим в качестве такой возможной оценки выборочнyю среднюю х, т.е. .а) Выборка повторная.

Закон распределения для каждой случайной величины Xk (k=1,2,...,n) имеет вид:

Случайные величины x1, x2,..,xk,..,xn независимы, т.к. независимы любые события Xk=xi (k=1,2,…n; i=1,2,...,m) и их комбинации.

Найдем числовые характеристики СВ Xk:

, .

т.е. мат-кое ожидание и дисперсия каждой СВ Xk- это соот-но генеральная средняя и генеральная дисперсия.

Теорема. Выборочная средняя повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней причем .

Б) Выборка бесповторная

 

Точечная оценка генеральной дисперсии по повторной собственно случайной выборке. Основные свойства оценки.

– дисперсия признака в генеральной совокупности (генеральная дисперсия);

 

Выборочную долю можно представить как среднюю арифметическую n альтернативных случайных величин x1, x2,.. xn, т.е. , где случайная величина xi(i=1,n) выражает появление признака A в i-ом элементе выборки (xi =1, при наличии признака A, и =0, при отсутствии признака). Таким образом, случайные величины x1, x2,.. xn имеют одинаковый закон распределения:

Случайные величины Xi(i=1,n) независимы в совокупности.

Теорема. Выборочная доля W=m/n повторной выборки является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли p=M/N, причем ее дисперсия определяется по формуле

СВОЙСТВА ТОЧЕЧНОЙ ОЦЕНКИ

СВОЙСТВО НЕСМЕЩЕННОСТИ ОЦЕНКИ.

Желательным требованием к оценке является отсутствие систематической ошибки.

Определение. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:

выборочная дисперсия — смещенная оценка генеральной дисперсии D. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка

СВОЙСТВО СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ОЦЕНКИ.

Второе требование к оценке — ее состоятельность — означает улучшение оценки с увеличением объема выборки.

Определение. Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру θ при n→∞.

Сходимость по вероятности означает, что при большом объеме выборки вероятность больших отклонений оценки от истинного значения мала.

СВОЙСТВО ЭФФЕКТИВНОЙ ОЦЕНКИ.

Третье требование позволяет выбрать лучшую оценку из нескольких оценок одного и того же параметра.

Определение. Несмещенная оценка является эффективной, если она имеет наименьшую среди всех несмещенных оценок дисперсию.

Это означает, что эффективная оценка обладает минимальным рассеиванием относительно истинного значения параметра. Заметим, что эффективная оценка существует не всегда, но из двух оценок обычно можно выбрать более эффективную, т.е. с меньшей дисперсией.

 


 

Основные понятия интервального оценивания

У выборки небольшого объема точечная оценка может существенно отличаться от истинной характеристики, поэтому необходимо построение интервальной оценки.

Δ = [Q*n - iQ*n], где Q* - точечная оценка

Доверительный интервал для параметра Q – это интервал, который накрывает (не содержит, а именно накрывает) значение Q*. А вероятность, в свою очередь, называют доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Наибольшее отклонение Δ выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью γ, называется предельной ошибкой выборки.

Ошибка Δ является ошибкой репрезентативности (представительства) выборки. Она возникает только вследствие того, что исследуется не вся совокупность, а лишь часть ее (выборка), отобранная случайно. Эту ошибку часто называют случайной ошибкой репрезентативности. Ее не следует путать с систематической ошибкой репрезентативности, появляющейся в результате нарушения принципа случайности при отборе элементов в выборку.

 


 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-04 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: