Нормальный закон распределения и его основные характеристики

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

где параметр m_x — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ_x — среднеквадратическое отклонение (σ_x  ² — дисперсия) распределения.

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Найдём функцию распределения F(x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдём экстремум функции.

Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m, то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т = 0 и трёх возможных значениях среднеквадратичного отклонения s = 1 и s = 2, s=7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

21.Равномерный закон распределения и его основные характеристики.

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если на этом отрезке ее плотность распределения вероятности постоянна, т. е. если дифференциальная функция f(х) имеет следующий вид:

Тогда соответствующая функция распределения примет вид:

Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

Для равномерного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Равномерно распределенная случайная величина X принимает все свои значения лишь в конечном промежутке [a;b], причем все эти значения случайной величины X равновероятны. Примерами случайных величин, распределенных по равномерному закону, могут быть:

· Время ожидания автобуса, при условии, что пассажир приходит на остановку в случайный момент времени и автобусы ходят с постоянным интервалом.

· Ошибки при взвешивании.

· Ошибка округления числа до целочисленного значения. Очевидно, что такая случайная величина распределена равномерно на отрезке [−0,5;0,5][−0,5;0,5].

22. Закон больших чисел. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

Закон больших чисел

ЗБЧ может пониматься в узком и широком смыслах

В широком – общий принцип, который, согласно Колмогорову, позволяет утверждать, что совокупность действий большого числа случайных факторов приводит к результату почти независимому от случая при некоторых общих условиях. Т.е при большом числе случайных величин их результат перестаёт быть случайным и может быть предсказан с высокой степенью определённости.

P (x>A) ≤ M(x) / A

В узком – группа теорем, устанавливающих факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным.

Неравенство Чебышева

Для любых случайных величин имеющих D(x), M(x)

Неравенство Маркова

Если случайная величина X принимает только неотрицательное значение и имеет мат.ожидание, то для любого А>0 верно неравенство

(применимо к любым неотрицательным случайным величинам(верхняя граница оцениваемого события))