Задачи проектирования кулачковых механизмов

6.2.1. Установление целесообразного закона
движения ведомого звена

Закон движения ведомого звена диктуется рабочим процессом машины. Например, в металлорежущих станках требуется постоянная скорость подачи рабочих органов. Постоянная скорость толкателя необходима также в текстильных и швейных машинах, где кулачки служат для направления нитки при наматывании на катушку. При медленном движении кулачка силы инерции толкателя и связанных с ним деталей настолько малы, что практически неощутимы, поэтому в этих случаях можно выбирать закон перемещения толкателя исходя из технологического процесса, не учитывая величину и характер изменения ускорения. Далее, дифференцируя график , находят закон изменения:

.

В быстроходных кулачковых механизмах большое значение имеет закон изменения ускорений, так как с ускорениями толкателя связаны пропорциональные им и массе звена силы инерции. В этом случае в качестве закона движения задаются кривой изменения ускорения толкателя, выбирают ее целесообразный вид, а затем по ней находят методом графического интегрирования закон изменений скоростей и закон перемещений толкателя, являющийся исходным для определения профиля кулачка.

Профилирование кулачка

В задачу профилирования входит вычерчивание профиля кулачка. При этом пользуются методом обращенного движения. Для этого сообщают всему механизму общую скорость – ω, равную по величине и противоположную по направлению угловой скорости ω кулачка. Тогда кулачек будет неподвижным, а стойка с ведомым звеном будет совершать движение относительно кулачка. Закон движения при этом не меняется. Толкатель участвует в сложном движении: переносном вместе со стойкой и относительном около стойки. Зная положение толкателя, можно вычертить профиль кулачка.

В заданиях на курсовой проект обычно указывают:

1) тип кулачкового механизма;

2) закон движения ведомого звена;

3) минимальный угол передачи ;

4) максимальный ход ведомого звена;

5) фазы движения;

6) длину коромысла.

Следовательно, проектирование в этом случае сводится к определению основных размеров кулачкового механизма и профилированию кулачка.

Законы движения ведомых звеньев

Рассмотрим ряд законов движения ведомых звеньев. При рассмотрении законов движения вместо скорости и ускорения можно пользоваться пропорциональными им величинами первой и второй производной пути толкателя по углу поворота кулачка.

В этом нетрудно убедиться из представленных ниже выражений, так как

¨ поэтому

По аналогии будем иметь

¨ откуда .

Параболический закон

В этом законе (рис. 6.6) скорость движения толкателя на первой части хода удаления равномерно возрастает, а на второй части равномерно убывает до нуля. Ускорение на этих участках остается постоянным по величине. Силы инерции изменяют знак в середине подъема, что приводит к недостаточно спокойной работе механизма из-за возникающей вибрации. Более рациональным будет такое движение толкателя, при котором ускорение постепенно меняет знак как при подъеме, так и при опускании.

Рассмотрим построение графика перемещения и графиков первой и второй производной от перемещения по углу поворота. График перемещения строится как две сопряженные ветви парабол, вершина одной находится в начале координат, другой – в точке с координатами (φ_у; h _max). Как видно из рис. 6.6, построение можно провести двумя методами.

 

Рис. 6.6. Параболический график движения толкателя:
а – график перемещения; б – графики аналогов скорости и ускорения

На оси S (см. рис. 6.6, а) откладываем максималь­ный ход ведомого звена h _max. На оси φуглов поворота кулачка откладываем фазовый угол удаления. Масштабы могут быть произвольными. Из середины отрезка φ_у восстановим перпендикуляр и на нем отложим h_max. Затем разделим h_max на 12 равных частей. Отрезок, соответствующий углу по­ворота φ_у, также делим на 12 равных частей. Затем из начала координат проводим лучи через точки 1–6; из точки с координатами (φ_у; h _max) проводим лучи через точки 6–12. Каждый луч, пересекаясь с одноименной ординатой, проведенной через деле­ние отрезка соответствующего угла удаления φ_у, дает точку, принадлежащую параболе.

Таким образом, можно получить искомые точки и по ним построить обе сопряженные ветви парабол. Точка сопряжения имеет координаты Два других графика строятся методом графического дифференцирования или аналитическим методом (см. рис. 6.6, б), причем амплитудные значения и в масштабе первого графика можно найти в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Амплитудные значения толкателя

Наименование параметров	Законы движения
параболический (равномерный)	косинусоидальный	синусоидальный
S

 

Примечание: φ – текущая координата угла поворота кулачка, рад; φ_у – фазовый угол удаления, рад; h – максимальное удаление толкателя или коромысла.

Косинусоидальный закон

Ускорение ведомого звена меняется по закону косинуса в пределах удаления и сближения. Резких переходов внутри фазы удаления и сближения нет. Однако в начале и конце фаз движения значения ускорений резко возрастают от 0 до максимального значения, функциональная зависимость перемещения и пропорциональных величин скорости и ускорения по углу поворота кулачка приведена в табл. 6.1.

Построение графиков рассмотрим на рис. 6.7. График перемещения S = f (φ) показан на рис. 6.7, а. По оси S откладываем отрезок, соответствующий максимальному ходу ведомого звена h _mаx, в масштабе ,апо оси φ– угол удаления в масштабе ,делим его на 12 равных частей.
Затем на оси S радиусом r ₁ = h _max/2проводим полуокружность, которую делим также на 12 равных частей, начиная с начала координат.

Точки полуокружности проектируем на ось S и от этих проекций проводим прямые, параллельные оси φ,до пересечения их с соответствующими ординатами. Если соединить полученные точки плавной кривой, то получим график перемещения S = f (φ).

Построение графика dS / d φ = f (φ) показано на рис. 6.7, в. Из табл. 6.1 видим, что величина dS / d φ,пропорциональная скорости, выражается зависимостью .

Амплитуда синусоиды зависит от перемещения h,поэтому построение графика dS / d φ = f (φ) можно выполнить автоматически в одном масштабе () графиком перемещения S = f (φ), если амплитуду выразить в том же масштабе , что и перемещение. Построение графика dS / d φ = f (φ)выполняем следующим образом: из начала координат радиусом, равным амплитуде синусоида , проводим четверть окружности, которую делим на шесть равных частей. Эти точки проектируем на ось dS / d φи затем через них проводим прямые, параллельные оси φ  до пересечения с соответствующими ординатами. Точки пересечения дают искомые точки графика. Для фазы сближения график строится аналогично.

Построение графика показано на рис. 6.7, б.

Масштаб построения возьмем равным μ _S. Это сделать удобно, так как функция, определяющая , выражена через h _max(см. табл. 6.1). Затем из начала координат (см. рис. 6.7, в) радиусом (мм) проводим полуокружность и разбиваем ее на 12 равных частей. Точки деления переносим на ось , строим косинусоиду обычным порядком.

Рис. 6.7. Косинусоидальный закон движения ведомого звена:
а – график перемещения; б – график аналога скорости;
в – график аналога ускорения

Для фазы сближения косинусоида строится аналогично первой, но радиус .

Масштабы для всех графиков будут одинаковы и равны масштабу μ _S. Например,

,

где h _max – максимальное значение перемещения.

Величина перемещения h _max в масштабе μ _S будет равна , тогда .

Следовательно, величины, пропорциональные ускорению и скорости , выраженные через отрезок h, будут изображаться также в масштабе μ _S.

Для рассматриваемого закона движения толкателя характерно наличие нежестких ударов в начале и конце удаления. Наибольшее ускорение в 1,23 раза больше, чем ускорение при параболическом законе, если фазы движения ведомого звена одни и те же.

Применение этого закона движения ведомого звена допустимо при умеренных скоростях.

Синусоидальный закон

Ускорение изменяется по закону синуса, функциональную зависимость видно из табл. 6.1. Сопоставляя значения ускорений для всех трех законов, можно отметить, что при одинаковых параметрах S _max иφ_у ускорение при синусоидальном законе на 57 % больше, чем при параболическом. Главное достоинство синусоидального закона заключается в том, что ускорения ведомого звена меняются совершенно плавно, причем при вбегании ролика на рабочий профиль ускорение начинает возрастать от нуля, и в конечной точке профиля удаления оно становится равным нулю. Соответственно характеру изменений ускорения так же плавно изменяется и сила инерции ведомого звена, вследствие чего устраняются мгновенные изменения нагрузки между роликом и кулачком.

 

 

Рис. 6.8. Диаграммы движения толкателя по синусоидальному закону:
а – график перемещения; б – график аналога скорости;
в – график аналога ускорения

Для клапанных механизмов этот закон имеет недостаток, так как кривая подъема слишком плавно подходит к оси φ, в результате подъем клапана затягивается, а это приводит к сжатию пара или газа (рабочей смеси).

Построение графика показано на рис. 6.8, а. Участок удаления по оси φделим на 12 равных частей. Из начала координат проводим полуокружность радиусом , где h – максимальный ход ведомого звена в масштабе μ _S. Эту окружность делим на шесть равных частей. Полученные точки нумеруем (см. рис. 6.8, а) и проектируем на ось S. Начало координат соединяем прямой с точкой (h; φ _у). Из осталь­ных точек проводим прямые, параллельные данной. На пересечении этих прямых с соответствующими ординатами получаем точки искомого графика.

При построении графика (рис. 6.8, б) на оси откладываем отре­зок и на нем, как на диаметре, строим полуокружность, которую делим на шесть равных частей. Точки деления нумеруем от начала координат. Через эти точки проводим прямые, параллельные оси φ_у, до пересечения с соответствующими ординатами. Точки пересечения дают точки графика. Для фазы сближения график строится аналогично, только полуокружность расположена ниже первой и диаметр ее .

График (рис. 6.8, в) строится как синусоида с амплитудой для удаления и с амплитудой для сближения.

Все дальнейшее построение напоминает построение для предыдущего закона.

6.3.4. Построение графиков зависимостей dS / d φ = f (φ) и S = f (φ)
при заданном законе изменения ускорения

Чтобы построить графики зависимости и , если задан закон изменения можно, как и прежде, воспользоваться аналитическими зависимостями, помещенными в табл. 6.1.

Эти графики можно построить и другим способом: двухкратным графическим интегрированием заданного графика .

В этом случае для лучшего использования листа следует задаваться высотой графика , равной 50–70 мм.

Рис. 6.9. Построение графиков зависимостей dS / d φ = f (φ) и S = f (φ):
а – график аналога ускорения; б – график аналога скорости;
в – график перемещения

 

При построении графика зависимости на фазе сближения следует угол φ_сб разделить на столько же частей, на сколько разделен угол φ_уд, но нумерацию производить в обратном порядке (рис. 6.9, а).

Величины ординат графиков на фазе сближения можно определить путем пропорционального измене­ния ординат соответствующего графика на фазе удаления:

Y ₂ = y ₁ ,

где y ₁ – ордината графика на фазе удаления, y ₁ = d ² S / d φ²_уд;

y ₂ – ордината графика на фазе сближения, y ₂ = d ² S / d φ²_сб.

На рис. 6.9, а задан график зависимости . Требуется построить графики: и .

Внутри каждого участка переменную величину заменим средним значением так, чтобы площади выступающих и входящих углов были одинаковы (см. рис. 6.9, a). Ординаты полученных средних ускорений отложим на ось и соединим лучами I, II, III, IV … с полюсом Р, взятым на расстоянии H ₂ от начала координат.

Ниже системы осей построим систему осей (см. рис. 6.9, б).

Из начала координат на соответствующих участках проводим отрезки, параллельные лучам I, II, III и т.д. Строим кривую линию. Затем строим полуокружность, которая приближенно представляет искомый график . Величину ординат графика на фазе сближения можно определить путем пропорционального изменения ординат на фазе удаления, не прибегая к графическому интегрированию, по зависимости

y ₂ = y ₁ ,

¨ где y ₁ – ордината графика на фазе удаления, y ₁ = dS / d φ_уд;

¨ y ₂ – ордината графика на фазе сближения, y ₂ = dS / d φ_сб.

Максимальную высоту графиков и рекомендуется брать в пределах 60–100 мм.

При графическом интегрировании это достигается за счет подбора базы H ₁ и H ₂.

Проинтегрировав график , получим закон изменения перемещения ведомого звена от угла поворота кулачка (см. рис. 6.9, в). Вычисление масштабов следует начинать с m _S:

где h _maxберется из исходных данных, Ys _max – максимальная ордината перемещения толкателя на графике (измеряется на листе).

Определение масштабов ; производится по формулам

; .

6.4. Определение минимальных размеров
кулачкового механизма

Эта задача сводится к определению наименьшего радиуса кулачка при заданных минимальном угле передачи движения y _min и законе движения. Определение минимального радиуса производится гра­фическим методом. Теоретическое обоснование метода можно найти в учебниках по теории механизмов и машин И.И. Артоболевского и др. Для решения задачи нужно построить графики перемещения и первой производной от перемещения по углу поворота. График вто­рой производной необходим для динамического анализа меха­низма. Графики и имеют один масштаб.

Определение минимального радиуса кулачка рассмотрим на при­мерах.

6.4.1. Определение минимальных размеров кулачкового
механизма с поступательно движущимся толкателем