Кинематический анализ кулачкового механизма

Рис. 6.18. Расчетная схема для кинематического анализа

Этот анализ проведем на примере кулачкового механизма с толкателем, оканчивающимся острием. Пусть на фазе удаления центровой профиль кулачка задан в виде канонического уравнения параболы у = 2 рх в системе координат х О у (рис. 6.18). На рис. 6.18 использованы следующие обозначения: а – расстояние от начала координат до центра окружности минимального радиуса; φ – текущий фазовый угол поворота кулачка;

– координаты точки М профиля кулачка при повороте последнего на угол φ;

– координаты точки встречи толкателя с точкой на профиле кулачка;

– соответственно эксцентриситет и минимальный радиус кулачка;

, , m, n, – точки построения схемы механизма.

В дальнейшем будем считать заданными:

1) уравнение центрового профиля кулачка;

2) расстояние а;

3) эксцентриситет е;

4) угловую скорость ω;

5) текущий фазовый угол.

Требуется определить координаты точки встречи толкателя

с точкой профиля кулачка при повороте последнего на угол φ, а также скорость в данный момент.

Определим минимальный радиус. Из рис. 6.18 следует:

, (6.4)

, (6.5)

x = а – е. (6.6)

¨ Подставляя в формулу (6.4) значения (6.5), (6.6), получим

(6.7)

Определим на профиле кулачка координаты точки М, которая окажется в контакте с толкателем при повороте кулачка на заданный фазовый угол φ. Для этого необходимо совместно решить уравнение профиля кулачка и уравнение прямой у = kx + b, изображающей положение толкателя в обращенном движении (см. рис. 6.18).

Составим уравнения упомянутой прямой в системе х О у. Угловой коэффициент этой прямой равен tg(90 – φ). Отрезок, отсекаемый на оси О у (с учетом знака) и равный О , определяется из следующих условий (см. рис. 6.18):

(6.8)

¨ отсюда

(6.9)

Тогда уравнение искомой прямой с учетом углового коэффициента и выражения (6.9) примет следующий вид:

(6.10)

Решаем совместно уравнение (6.10) и уравнение параболы:

(6.11)

Решение системы уравнений (6.11) – это координаты точки М:

(6.12)

Дифференцируя выражения (6.12) по времени, получим:

(6.13)

Определим координаты точки встречи толкателя с точкой М на профиле кулачка. В соответствии с рис. 6.18 имеем:

. (6.14)

¨ Координату определим из треугольника :

. (6.15)

Радиус-вектор = M определим как расстояние между двумя точками М и , координаты которых известны (М (), (a, 0)):

(6.16)

¨ Подставляя выражения (6.16) в (6.15), получаем:

(6.17)

Дифференцируя (6.17) по времени, получим абсолютную скорость толкателя при повороте кулачка на заданный угол:

. (6.18)

Производные и определяются по формулам (6.13). Дифференцируя по времени выражение (6.18), можно определить ускорение толкателя.

6.10.3. Профилирование кулачковой шайбы
для механизмов с плоским толкателем

Для управления станками с ЧПУ при изготовлении кулачковых шайб требуется аналитическое выражение центрового и действительного профилей. Предлагаемый аналитический метод профилирования кулачковых шайб механизмов различных типов позволяет формализовать процесс определения координат профиля в декартовой или полярной системе координат с помощью ЭВМ. Применим данный метод при профилировании кулачковой шайбы с плоским толкателем.

Рассмотрим неподвижную систему координат и подвижную систему координат , жестко связанную с шайбой (рис. 6.19). Перемещение системы относительно характеризуется поворотом кулачка на угол φ, при φ = 0 оси систем координат совпадают.

В системе координаты точки контакта определим радиусом-вектором которому соответствует столбцовая матрица:

В системе координаты точки контакта определим радиусом – вектором с помощью векторного выражения:

¨ где – матрица перехода от системы к системе ,

Рис. 6.19. Профилирование кулачковой шайбы
для механизма с плоским толкателем

Тогда, согласно определению вектора,

В полярных координатах радиус-вектор кулачка

а полярный угол , где – угол, зависящий от координат точки на профиле кулачка, .

6.10.4. Профилирование кулачковой шайбы для механизмов
с толкателем, оканчивающимся острием или роликом

В неподвижной системе координат радиус-вектор точки контакта толкателя с шайбой представим столбцовой матрицей (рис. 6.20):

¨ где – положение толкателя в начале его подъема;

¨ – текущее перемещение толкателя.

В системе координаты точки контакта определим радиусом-вектором, с помощью матричного выражения:

¨ где – матрица перехода от системы к системе ,

Рис. 6.20. Профилирование шайбы для механизма
с толкателем, оканчивающимся острием

¨ – координаты радиуса-вектора .

Для перехода от центрового к практическому профилю запишем вектор координат точки контакта ролика с действительным профилем кулачка в начале подъема толкателя в системе координат :

¨ где – угол давления,

¨ – аналог скорости толкателя,

¨ – радиус ролика.

Тогда радиус-вектор точки контакта ролика и практического профиля (точки ) в матричном выражении в системе запишем в виде столбцовой матрицы:

Для перехода к полярным координатам введем следующие обозначения:

– постоянный угол, ;

– дополнительный угол, .

Отсюда полярный угол радиуса-вектора . В полярных координатах радиус-вектор кулачка:

6.10.5. Профилирование кулачковой шайбы
для механизма с коромыслом

При профилировании считаем заданными зависимость углового перемещения выходного звена ψ от угла поворота кулачка φ, а также первую и вторую производные этого перемещения (ψ́, ψ˝), длину коромысла , межосевое расстояние , минимальный радиус, радиус ролика .

На рис. 6.21 изображены неподвижная система координат и подвижная система координат , которые совпадают при φ = 0, при этом начальное положение коромысла характеризуется значением . Повороту кулачка на угол φ соответствует текущее положение коромысла ψ.

В системе координаты точки контакта определим радиусом-вектором , которому соответствует столбцовая матрица:

Рис. 6.21. Профилирование кулачковой шайбы
для механизма с коромыслом

В системе координаты точки контакта определим матричным выражением

где – матрица перехода от системы к системе ,

В полярной системе координат радиус-вектор текущего положения точки контакта кулачка и толкателя , а полярный .

Для описания практического профиля проводим нормаль к профилю n – n и вводим еще одну систему координат с центром в точке А. В этой системе радиус-вектор, описывающий практический профиль, представим в виде