Теоретические сведения
Выпишем формулы, по которым определяются количественные характеристики надежности изделия
Для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия справедливы следующие формулы:
 ;
| (2.1) |
 ;
| (2.2) |
 ;
| (2.3) |
 ;
| (2.4) |
 
| (2.5) |
Для нормального закона распределения времени безотказной работы изделия справедливы следующие формулы
| P(t)=0.5-Ф(U) | (2.6) |
| Q(t)=0.5+Ф(U) | (2.7) |
 ;  ;
| (2.8) |
| (2.9) |
где Ф(U) - функция Лапласа:
,
mt - среднее временя безотказной работы, σt - параметр распределения
Ф(U) обладает следующими свойствами
Ф(0)=0; (2. 10)
Ф(-U) =-Ф(U); (2.11)
Ф(∞)=1. (2.12)
Значения функции Лапласа Ф(U) приведены в приложении П.1. таблица 3
Значения функции φ(U) приведены в приложении П.1. таблица 2
Здесь m t - среднее значение случайной величины Т;
Усеченное нормальное распределение
| Наименование показателя | Формула |
| Плотность распределения | 
|
| Вероятность безотказной работы | 
|
| Среднее время до первого отказа | 
|
| Интенсивность отказа | 
|
| Коэффициент | 
|
Для закона распределения Вейбулла времени безотказной работы изделия справедливы следующие формулы
 ;
| (2.10) |
 ;
| (2.11) |
 ;
| (2.12) |
 ;
| (2.13) |
 ,
| (2.14) |
где a, θ - параметры закона распределения Вейбулла. Г(x) - гамма-функция, значения которой приведены в приложении П.1.
Для закона распределения Релея времени безотказной работы изделия имеют вид
 ;
| (2.15) |
 ;
| (2.16) |
 ;
| (2.17) |
 ;
| (2.18) |
 ,
| (2.19) |
Решение типовых задач.
Задача 2.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ =2.5*10-5 1/час.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t),q(t),f(t),mt для t=1000час.
Решение. Используем формулы (2.1), (2.2), (2.3), (2.25) для p(t),q(t),f(t),mt.
1. Вычислим вероятность безотказной работы:
.
Используя данные таблицы П.1 получим
.
2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем
q(1000)=1-p(1000)=0.0247.
3. Вычислим частоту отказов
; 
1/час.
4. Вычислим среднее время безотказной работы
час.
Задача 2. 2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами mt =8000 час, σt =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t),f(t),λ(t) для t=10000 час.
Решение. Воспользуемся формулами (2.6), (2.8), (2.9),(2.10) для p(t), f(t), λ(t).
1. Вычислим вероятность безотказной работы
p(t)=0.5-Ф0(U); U=(t-mt)/σt;
U=(10000-8000)/2000=1; Ф0(1)=0.3413 по таблице 3 Приложения 1;
p(10000)=0.5-0.3413=0.1587. 2. Определим частоту отказа f(t)
.
Введем обозначение
.
Определим значение функции φ(U) по таблице Приложения 1, которое составляет 0,242.
Тогда
f(1000)= φ (1)/2000=0.242/2000=12.110-5 1/час.
3. Рассчитаем интенсивность отказов λ(t)
λ(t)=f(t)/p(t);
λ(10000)=f(10000)/p(10000)=12.110-5 /0.1587=76.410-5 1/час.
Задача 2.3. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),mt для t=1000час,если параметр распределения σt=1000 час.
Решение. Воспользуемся формулами (2.15), (2.17), (2.18),(2.19) для p(t),f(t), λ(t), 
,
1. Вычислим вероятность безотказной работы p(t)
2. Определим частоту отказа f(t)
f(1000)=0.606*1000/10002=0.606*10-3 1/час.
3. Рассчитаем интенсивность отказов
λ(t)= t/σt 2;
λ(1000)= 
4. Определим среднее время безотказной работы изделия
час.
Задача 2.4. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами α=1.5; λ=10-4 1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t), .
Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы p(t) по формуле (2.18). Имеем
p(t)=exp(-λtα); p(100)=exp(-10-4 * 
);
p(100)=e-0,1 =0,9048.
2. Определим частоту отказов f(t)
f(100)=10-4 *1,5*1000,5 *0,90481=35*10-3 1/час.
3. Определим среднее время безотказной работы изделия
.
Используя приложение П.1., получим
mt =0,90167/0,00215=426 час.
Варианты задач для самостоятельного решения.
Задача 1. Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром 
. Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента 
при значение t. Построить графики зависимости 
от t. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 3.
Таблица 3
Исходные данные для задачи 3
| № варианта |
| 
| 
| 
|
| 0,16*10-5 | ||||
| 0,12*10-5 | ||||
| 0,35*10-6 | ||||
| 0,35*10-5 | ||||
| 0,15*10-5 | ||||
| 0,25*10-5 | ||||
| 0,55*10-5 | ||||
| 1,5*10-5 | ||||
| 1,8*10-5 | ||||
| 0,05*10-3 | ||||
| 2,25*10-6 | ||||
| 0,75*10-6 | ||||
| 1,35*10-6 | ||||
| 0,5*10-5 | ||||
| 0,12*10-6 | ||||
| 0,7*10-6 | ||||
| 1,4*10-6 | ||||
| 0,4*10-6 | ||||
| 1*10-5 | ||||
| 0,5*10-5 | ||||
| 0,1*10-5 | ||||
| 0,1*10-6 | ||||
| 0,1*10-7 | ||||
| 0,6*10-8 | ||||
| 0,5*10-7 |
Задача 2.
Для вариантов 1-10
Пусть время работы до отказа подчинено (усеченному) нормальному закону распределения с параметрами mt час и s час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности 
для t. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 4.
Таблица 4
Исходные данные для задачи 4 (вариант 1-10)
| № варианта | mt | s |
|
|
|
Для вариантов 11-20
4. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики для t час, если параметр распределения s час. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 5.
Таблица 5
Исходные данные для задачи 4 (вариант 11-20)
| № варианта | s |
|
|
|
Для вариантов 20-25
4. Время работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами α, 
1/ час, а время его работы t час. Требуется вычислить количественные характеристики 
такого изделия. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице
Таблица 6 Исходные данные для задачи 4 (вариант 21-30)
| № варианта |
| α | 
|
| 0,1*10-5 | 1,5 | ||
| 0,22*10-5 | |||
| 0,3*10-6 | |||
| 0,35*10-5 | 2,5 | ||
| 0,15*10-3 | 1,8 | ||
| 0,5*10-2 | 1,5 |