ЗАДАЧА № 4. Расчет надежности системы с резервированием





Теоретические сведения

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,....,n соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается. Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования показана на рис.4.1. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m.

Рисунок Общее резервирование с постоянно включенным элементом

Вероятность отказа системы c общим резервированием qc(t) определяется формулой

(4.1)

где qj(t) - вероятность отказа j - го элемента .

В случае равенства вероятностей отказа основной и резервных систем

(4.2)

Вероятность безотказной работы системы

(4.3)

где Рi(t) - вероятность безотказной работы i- го элемента.

При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем

(4.4)

Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).

Приняты следующие допущения:

Отказ элементов системы описывается простейшим потоком отказов

Резервируемые и резервные элементы равнонадежны

Известно:

Число основных элементов в системе, n

Вероятность безотказной работы элемента pi

Кратность резервирования, m

Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи

(4.5)

где Рij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента j-ой цепи.

Вероятность отказа j - ой цепи

. (4.6)

Вероятность отказа системы с общим резервированием

. (4.7)

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

. (4.8)

Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.

Рij(t)=Pi(t) . (4.9)

Тогда

(4.10)

(4.11)

Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.

- . (4.12)

В этом случае формулы (4.10), (4.11) примут вид

, (4.13)

, (4.14)

, (4.15)

где Λ0 - интенсивность отказов любой из m+1 цепи, состоящей из N элементов.

Частота отказов системы с о6щим резервированием

. (4.16)

Интенсивность отказов системы с общим резервированием

. (4.17)

Среднее время безотказной работы резервированной системы

, (4.18)

где Т0 = 1/λ0 - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.

Кратность резервирования

где

P(t) – ВБР элемента в течении времени t, Pc(t) – ВБР системы.

Решение типовых задач.

Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λс(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.

В) выигрыш по среднему времени безотказной работы

Решение.

а)

,

где λс - интенсивность отказов системы;λ i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10.

λi=1/mti = 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ;

λc=0,001*10=0,01 1/час;

mtc=1/λc=100 час;

fc(t)= λc(t)* Pc(t)= λce-λct =0,01*e-0,01*50=10-3 1/час;

б) структурная схема для приведенного резервирования имеет вид

 

; час ;

Используя формула 4.16 и 4.17 получим

;

.

в) выигрыш надежности по mt рассчитывается по формуле

 

Таким образом, использование резервирования устройства, среднее время безотказной работы увеличивается в15 раз.

Задача 4.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала λ=10-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы канала Рс(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов λс(t).

Решение. В данном случае число элементов n=1; λi= 10-2; кратность резервирования m=1. По формуле (4.14) имеем

Рс(10)=1-(1-e-0,1)2 =1-(1-0,9048)2 =0,99 .

Определим m. Из формулы (4.18) имеем

Определим частоту отказов fc(t) по формуле 4.16. Получим

Определим интенсивность отказов λс(t). Имеем

Задача 4.3

Определить кратность резервирования системы с постоянно включенным резервом, обеспечивающим ВБР 0,96 в течении времени t=150ч. Элементы системы равнонадежны и имеют экспоненциальное распределение со средним временем безотказной работы Т=300ч.

Решение.

Кратность резервирования m находим по формуле

где

P(t) – ВБР элемента в течении времени t, Pc(t) – ВБР системы.

Для экспоненциального распределения P(t) находим по формуле

Подставляя значения P(t) и Pc(t) получаем

Округляя до целых чисел величину m получаем кратность резервирования равна 3.

Задача 4.4

В организации оборудован центр обработки данных в следующем составе: сервер приложений (СП), сервер данных (СД), маршрутизатор. Сервер приложений и сервер данных подключены через источник бесперебойного питания (ИБП). СП имеет следующую конфигурацию: 2-х процессорный, 2 блока питания, 1 диск, 2 сетевые карты. Сервер остается работоспособным при 1 работающем процессоре, 1 сетевой карте и 1 блоке питания. СД представляет собой сетевую систему хранения данных в составе 4 дисковых модулей. Два модуля включает 2 диска, один из них используется для организации RAID-массива. Два модуля включают по одному диску.

Определить ВБР ЦОД в течении года. Принять следующие допущения. Все элементы

одного типа равнонадежны, известны величины λi. ЦОД работает в режиме 24/7.

Решение.

ЦОД описывается как последовательно-параллельная система, для которой структурная схема резервирования имеет вид:

1-эл.сеть, 1- ИБП, 2-ЦП1, 3-ЦП2, 4-БП1, 4-БП2, 5-Диск СП, 6 – сет.карта1, 7-сет.карта2, 8-диск1 модуля 1, 8- диск2 модуля 1, 9-диск1 модуля 2, 9-диск2 модуля 2, 10- диск1 модуля 3, 11- диск1 модуля 4, 12-маршрутизатор.

Элементы 4,8,9 – работают в нагруженном резерве, элемент 1 – работает в облегченном резерве с коэффициентом kλ.

Для ППС ВБР находится по следующей формуле:

, (4.20)

где F(t) – функция распределения наработки до отказа.

(4.21),

для i=4,8,9, m4=2, m8=2,m9= 2, m2,5,6,10,11,12=1

FI(t)=1-P1(t),

, , Fi(t) по формуле 4.21

В таблице приведены результаты промежуточных и окончательного расчета.

    t, час                
i λ λt λtm m EXP(-λtm) Fi Pi Группы Узлы I Система
0,00006000 0,5256 0,5256 0,4313 0,5687037198 0,4312962802 0,4312962802 0,4312962802 I  
0,00004000 0,3504 0,3504 0,70441 0,2955937291 0,7044062709 0,912624347 0,373196543 II 0,999974119
                     
0,00003000 0,2628 0,06906384 0,93327 0,0667329016 0,9332670984 0,9332670984      
0,00003500 0,3066 0,3066 0,73594 0,2640550800 0,7359449200 0,7359449200      
0,00000060 0,005256 0,005256 0,99476 0,0052422114 0,9947577886 0,999972519      
                     
0,00002000 0,1752 0,03069504 0,96977 0,0302287306 0,9697712694 0,9697712694 0,079886374 III  
0,00000020 0,001752 3,0695E-06 0,0000030695 0,9999969305 0,9999969305      
0,00000350 0,03066 0,03066 0,96981 0,0301947492 0,9698052508 0,9698052508      
0,00000250 0,0219 0,0219 0,97834 0,0216619360 0,9783380640 0,9783380640      
0,00000023 0,0020148 0,0020148 0,99799 0,0020127717 0,9979872283 0,9979872283 0,0020127717 IV  

Варианты задач для самостоятельной работы

Задача 1

Варианты 1-10.

Для резервирования методом замещения принять следующие параметры переключателя: Qп=0,04; Pп=0,96.

1. Интенсивность отказов элементов системы λ=0.0025 час-1 . Требуется определить кратность резервирования системы с постоянно включенным резервом в течении времения t=150ч., построенную из этих элементов, которая обеспечивает среднее время безотказной работы T1ср=800 ч. Принять, что элементы равнонадежны и имеют экспоненциальный закон распределения.

2. Найти показатели надежности (ВБР) резервированной системы с постоянно включенным резервом кратности m=3, элементы которой имеют интенсивности отказов λ0=0.004 час-1, λ1=0.007 час-1, λ2=0.002 час-1 λ3=0.001 час-1. Время непрерывной работы системы t=120ч.

3. Интенсивности отказов элемента λ=0.0035 час-1. Требуется определить кратность резервирования системы (резервирование замещением) в течении времени t=250ч., построенную из этих элементов, которая обеспечивает среднее время безотказной работы T1ср=800 ч. Принять, что элементы равнонадежны и имеют экспоненциальный закон распределения.

4. Дана последовательно-параллельная система размером 3х5 (5 элементов нерезервированной системы, 3 дублированы с резервом методом замещения). Все элементы равнонадежны и имеют интенсивность отказов элемента λ=0.002 час-1,. . Требуется определить ВБР системы. Принять, что элементы имеют экспоненциальный закон распределения. Время непрерывной работы системы t=220ч.

5. Найти показатели надежности Pc(t), Tc(t), λc(t) резервированной системы из 4-х элементов с резервирование замещением кратности m=3, элементы которой имеют интенсивности отказов λ0=0.004 час-1, λ1=0.007 час-1, λ2=0.002 час-1 λ3=0.001 час-1.. Время непрерывной работы системы t=120ч.

6. Даны две системы со скользящим резервом. Первая системы состоит из n=7 элементов, из которых m=3 резервные. Вторая система состоит из n=5 элементов с m=2 резервными. Определить выигрыш по ВБР. Элементы обеих систем имеют постоянную интенсивность отказов λ=0.001 час-1 . Время непрерывной работы системы t=120ч.

7. Дана последовательно-параллельная система размером 3х4 (4 элементов нерезервированной системы, 3 дублированные с облегченным резервом (kλ=0,5). Все элементы равнонадежны, время до отказа элементов имеет распределение Рэлея с параметром T=50час. Требуется определить ВБР системы. Время непрерывной работы системы t=150ч.

8. Дана последовательно-параллельная система размером 3х3 (3 элементов нерезервированной системы, 3 дублированные с резервом методом замещения). Все элементы равнонадежны и имеют интенсивность отказов элемента λ=0.002 час-1. Требуется определить ВБР системы. Время непрерывной работы системы t=150ч.

9. Элементы резервированной системы с постоянно включенным резервом имеют распределение Вейбулла времени работы до отказа. Найти выражение для среднего времени безотказной работы системы при кратности резервирования m=0,1,2,3,4,5. Вычислить среднее время безотказной работы при параметрах закона распределения α=2.5, θ=20.

 

Вариант 11-25

 

Резервированная система с постоянно включенным резервом (дублированием) состоит из двух подсистем (групп), имеющих различные законы распределения времени до отказа. Необходимо вычислить Pc(t), T1c, λc(t). Результаты оформить в виде таблицы и графика для t=0÷500 час с шагом 50. Исходные данные представлены в таблице 1.

В таблице используются следующие обозначения:

Exp (λ) – экспоненциальное распределение с параметром λ

R- распределение Релея с параметром λ

TN(mt; σt) – распределение усеченное нормальное с параметрами mt- σt -

W(α;θ) – распределение Вейбулла с параметрами α форма кривой-; θ- масштаб кривой

N(m;σ) – нормальное распределение с параметрами m; σ.

 

Таблица

Вариант Закон распределения Вариант Закон распределения Вариант Закон распределения
Exp(0,005), R(0,0002) W(1,2;200) TN(400;180) Exp(0,0015) TN(350;180)
Exp(0,004) N(400;120) Exp(0,005), N(360;110)   R(0,0001) TN(390;190)
Exp(0,007) TN(400;120) N(410;130) R(0,0006) W(2;100) N(360;100)
W(3;500) R(0,0005) TN(400;180 R(0,0004)   N(420;140) TN(380;200)
W(1,5;150) N(410,130) Exp(0,001) W(1,1;160) TN(400;215) Exp(0,002)

 

 

Задача 2

В организации оборудован центр обработки данных в следующем составе: сервер приложений (СП), сервер данных (СД), маршрутизатор. Сервер приложений и сервер данных подключены через источник бесперебойного питания (ИБП). СП имеет следующую конфигурацию: N-х процессорный, M блока питания, 1 диск, 2 сетевые карты. Сервер приложений остается работоспособным при 1 работающем процессоре, 1 сетевой карте и 1 блоке питания. СД представляет собой сетевую систему хранения данных в составе K дисковых модулей, каждый модуль включает s - дисков, часть из них используется для организации RAIDx-массива.

Определить ВБР ЦОД в течении года. Принять следующие допущения:

· все элементы

· одного типа равнонадежны,

· известны величины λi (см. пример решения)

· ЦОД работает в режиме 24/7.

 

 

Варианты задач.





Читайте также:
Основные идеи славянофильства: Славянофилы в своей трактовке русской истории исходили из православия как начала...
Роль языка в формировании личности: Это происходит потому, что любой современный язык – это сложное ...
Социальное обеспечение и социальная защита в РФ: Понятие социального обеспечения тесно увязывается с понятием ...
Эталон единицы силы электрического тока: Эталон – это средство измерения, обеспечивающее воспроизведение и хранение...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.034 с.