Теоретические сведения
Соединение элементов называется последовательным, если отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно соединенных элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все ее элементы.
Вероятность безотказной работы системы за время t определяется формулой
(3.1) 
где Рi(t) - вероятность безотказной работы i-го элемента за время t, n – количество элементов в системе.
Если Рi (t) =Р(t), то
Pc(t)=Pn(t). (3.2)
Выразим Рс(t) через интенсивность отказов λi(t) элементов системы.
Имеем:
(3. 3)
или
(3.4)
где
(3.5)
Здесьλ i(t) - интенсивность отказов i-го элемента; λс(t) - интенсивность отказов системы.
Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t) равна
(3.6)
Частота отказов системы fc(t) определяется соотношением
(3.7)
Интенсивность отказов системы
(3.8)
Среднее время безотказной работы системы:
(3. 9)
В случае экспоненциального закона надежности всех элементов системы имеем
. (3.10)
; (3.11)
; (3.12)
; (3.13)
; (3.14)
; (3.15)
; (3.16)
, (3.17)
где mti - среднее время безотказной работы i - го элемента.
Этот метод расчета надежности системы рекомендуется применять при окончательном расчете надежности, когда установлены экспериментально λ-характеристики для элементов системы.
При ориентировочном расчете принимают следующие допущения:
Известны интенсивности отказов λ элементов системы
Известно число элементов в системе
Однотипные элементы равнонадежны, т.е. имеют одинаковую интенсивность отказов, равную среднестатистическомй значению.
Тогда показатели надежности рассчитываются по следующим формулам
Решение типовых задач.
Задача 3.1. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно: mt1=160 час; mt2 =320 час; mt3 = 600 час.
Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.
Решение. Воспользовавшись формулой (3.17) получим
Здесь λi - интенсивность отказов i -го блока. На основании формулы (3.11) имеем
1/час.
Здесь λc - интенсивность отказов системы.
На основании формулы (3.16) получим:
час.
Задача 3.2. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср=0,32*10-6 1/час. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить Pc(t), qc(t), fc(t), mtc, для t=50 час.
Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (3.11) будет
λс = λср*n = 0,32*10-6*12600 = 4,032*10-3 1/час.
Из (3.13) имеем
Рс(t) = e-λct; Рс(50) = e-4,032*0,001*50 0=0,82.
Из (3.15) получим
qc(t)= 1- Pc(t); qc(50)=1-Pc(50)= 0,18.
Из (3.14) имеем
fc(t) = λce-λct =λcPc(t); fc(50) = 4,032*10-3*0,82 = 3,28*10-3 1/час.
Из (3.16) получим
mtс=1/λc=1/4,032*10-3=250 час.
Задача 3.3.
Варианты задач для самостоятельного решения
1. На фирме имеется 230 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 3 винчестера, 10 вентиляторов для охлаждения процессора, 1 материнская плата, 2 видеокарты, 4 сетевые карты, 2 блока питания и 1 монитор. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
2. На фирме имеется 180 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 4 винчестера, 3 вентилятора для охлаждения процессора, 2 материнские платы, 1 видеокарта, 7 сетевых карты, 1 блок питания и 2 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
3. На фирме имеется 340 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 10 винчестеров, 17 вентиляторов для охлаждения процессора, 3 материнских платы, 2 видеокарты, 3 сетевые карты, 5 блоков питания и 3 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
4. На фирме имеется 270 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 4 винчестера, 9 вентиляторов для охлаждения процессора, 2 материнских платы, 4 видеокарты, 30 сетевых карты, 4 блока питания и 2 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
5. На фирме имеется 470 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 2 винчестера, 78 вентиляторов для охлаждения процессора, 3 материнских платы, 14 видеокарт, 7 сетевых карты, 7 блоков питания и 23 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
6. На фирме имеется 160 компьютеров. В течении 2 лет вышли из строя и были заменены 4 винчестера, 9 вентиляторов для охлаждения процессора, 2 материнских платы, 4 видеокарты, 13 сетевых карты, 3 блока питания и 4 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспотенциональный (нормальный участок эксплуатации).
7. На фирме имеется 920 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 12 винчестеров, 37 вентиляторов для охлаждения процессора, 7 материнских платы, 9 видеокарты, 20 сетевых карты, 8 блоков питания и 21 монитор. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
8. На фирме имеется 760 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 14 винчестеров, 19 вентиляторов для охлаждения процессора, 6 материнских платы, 3 видеокарты, 56 сетевых карты, 23 блока питания и 17 мониторов. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
9. На фирме имеется 260 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 2 винчестера, 7 вентиляторов для охлаждения процессора, 2 материнских платы, 4 видеокарты, 13 сетевых карты, 3 блока питания и 2 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
10. На фирме имеется 540 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 4 винчестера, 19 вентиляторов для охлаждения процессора, 5 материнских платы, 3 видеокарты, 24 сетевых карты, 6 блока питания и 7 мониторов. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
11. На фирме имеется 680 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 10 винчестеров, 32 вентилятора для охлаждения процессора, 5 материнских платы, 8 видеокарты, 43 сетевых карты, 15 блоков питания и 21 монитор. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
12. На фирме имеется 850 компьютеров. В течении 3 лет вышли из строя и были заменены 46 винчестеров, 94 вентилятора для охлаждения процессора, 23 материнских платы, 47 видеокарты, 78 сетевых карты, 27 блока питания и 36 мониторов. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
13. На фирме имеется 780 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 10 винчестеров, 21 вентилятор для охлаждения процессора, 6 материнских платы, 14 видеокарты, 36 сетевых карты, 36 блока питания и 43 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
14. На фирме имеется 230 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 3 винчестера, 10 вентиляторов для охлаждения процессора, 1 материнская плата, 2 видеокарты, 4 сетевые карты, 2 блока питания и 1 монитор. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (участок эксплуатации характеризуется коэффициентами Кэ=1.033).
15. На фирме имеется 180 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 4 винчестера, 3 вентилятора для охлаждения процессора, 2 материнские платы, 1 видеокарта, 7 сетевых карты, 1 блок питания и 2 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (учесть цикличность работы ПЭВМ).
16. На фирме имеется 340 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 10 винчестеров, 17 вентиляторов для охлаждения процессора, 3 материнских платы, 2 видеокарты, 3 сетевые карты, 5 блоков питания и 3 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (участок эксплуатации характеризуется коэффициентами Ксл=1.066).
17. На фирме имеется 270 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 4 винчестера, 9 вентиляторов для охлаждения процессора, 2 материнских платы, 4 видеокарты, 30 сетевых карты, 4 блока питания и 2 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении 3-х лет, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (учесть цикличность работы ПЭВМ).
18. На фирме имеется 470 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 2 винчестера, 78 вентиляторов для охлаждения процессора, 3 материнских платы, 14 видеокарт, 7 сетевых карты, 7 блоков питания и 23 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
19. На фирме имеется 160 компьютеров. В течении 2 лет вышли из строя и были заменены 4 винчестера, 9 вентиляторов для охлаждения процессора, 2 материнских платы, 4 видеокарты, 13 сетевых карты, 3 блока питания и 4 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (участок эксплуатации характеризуется коэффициентами Кэ=1,027).
20. На фирме имеется 920 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 12 винчестеров, 37 вентиляторов для охлаждения процессора, 7 материнских платы, 9 видеокарты, 20 сетевых карты, 8 блоков питания и 21 монитор. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении месяца, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (учесть цикличность работы ПЭВМ, принять интенсивность отказа на один цикл λц=10-5 1/ч).
21. На фирме имеется 760 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 14 винчестеров, 19 вентиляторов для охлаждения процессора, 6 материнских платы, 3 видеокарты, 56 сетевых карты, 23 блока питания и 17 мониторов. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (нормальный участок эксплуатации).
22. На фирме имеется 260 компьютеров. В течении года вышли из строя и были заменены 2 винчестера, 7 вентиляторов для охлаждения процессора, 2 материнских платы, 4 видеокарты, 13 сетевых карты, 3 блока питания и 2 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (участок эксплуатации характеризуется коэффициентами Ксл=1,057).
23. На фирме имеется 780 компьютеров (из них 10 серверов работают круглосуточно). В течении года вышли из строя и были заменены 10 винчестеров, 21 вентилятор для охлаждения процессора, 6 материнских платы, 14 видеокарты, 36 сетевых карты, 36 блока питания и 43 монитора. Определить вероятность безотказной работы компьютера в течении года, если принять, что закон распределения вероятностей отказа комплектующих – экспоненциальный (учесть цикличность работы ПЭВМ, принять интенсивность отказа на один цикл λц=10-5 1/ч).