Прямые в пространстве могут занимать различные положения относительно друг друга: быть параллельными, пересекаться и скрещиваться.
Пересекающиеся прямые
Если прямые пересекаются в пространстве в определенной точке, то их одноименные проекции пересекаются в проекциях этой же точки (рис. 40).
Если АВ ∩ CD = (∙)I=> ab ∩ cd = 1; a′b ′ ∩ c′d ′ = 1′ a′′b ′′ ∩ c′′d ′′ = 1′′.
Правильным будет и обратное утверждение: если на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, а проекции точки их пересечения лежат на одной линии связи, то прямые пересекаются в пространстве в этой же точке.
Параллельные прямые
По свойству параллельного проецирования известно, что одноименные проекции параллельных прямых параллельны между собой. Рассмотрим данное свойство на примере параллельных отрезков прямых АВ и СD.
Дано АВ || СD, следовательно, на чертеже их одноименные проекции будут параллельны между собой (рис. 41): ab || cd, a′b ′ || c′d′, a′′b′′ || c′′d′′, а также этому свойству соответствует обратное свойство: если на чертеже одноименные проекции прямых параллельны между собой, то в пространстве эти прямые параллельны.
Скрещивающиеся прямые
Из курса средней школы известно, что скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, т. е. они в пространстве не пересекаются.
На чертеже проекции этих прямых могут пересекаться друг с другом, но, в отличие от чертежа пересекающихся прямых, точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи.
Рис. 40. Пересекающиеся прямые АВ и СD
Рис. 41. Параллельные прямые АВ и СD
Обычно на чертеже, изображающем скрещивающиеся прямые, определяют, какая из прямых находится выше или дальше другой от соответствующих плоскостей проекций, т. е. ближе к наблюдателю. В этом случае применяется метод конкурирующих (совпадающих) точек. Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном проецирующем луче.
На рис. 42 изображены проекции двух скрещивающихся прямых АВ и CD. На фронтальной проекции видим мнимое пересечение этих прямых, совпадающие точки 1 и 2 (1 ′ ≡ 2 ′), но, опуская из мнимой точки пересечения линию связи на горизонтальную проекцию, видно, что общей точки пересечения нет, а получаются две точки, принадлежащие этим прямым, лежащие на одной линии связи, но находящиеся в разных местах. И, судя по тому, что точка 1 находится дальше от оси Х, определяем по проекционной принадлежности, что прямая АВ находится дальше от фронтальной плоскости проекций, чем прямая CD. Точки 1 и 2 являются конкурирующими точками, при их совпадении принято невидимые (закрытые) точки заключать в скобки, поэтому точка 2, находящаяся за точкой 1, на фронтальной проекции заключена в скобки.
Рис. 42. Скрещивающиеся отрезки прямых АВ и СD:
точка 4 выше точки 3; точка 2 находится за точкой 1
Аналогичным образом можно рассматривать совпадающее положение точек 3 и 4 (3 ≡ 4) на горизонтальной плоскости проекций, представляющих мнимое пересечение проекций прямых АВ и CD. Далее, по проекционной принадлежности определив положение точек на фронтальной плоскости проекций, можно заключить, что точка 4 находится выше точки 3 и, значит, дальше от горизонтальной плоскости проекций. А так как точка 4 принадлежит прямой АВ, то и прямая АВ находится выше прямой CD.
Точка 3 находится ниже точки 4 и закрывается ею, поэтому ее горизонтальная проекция заключена в скобки, как невидимая.
Следует отметить, что для определения взаимного положения прямых общего положения достаточно рассмотреть их две любые проекции. Третью проекцию, без необходимости, строить необязательно.
Для определения взаимного положения прямых уровня одна из рассматриваемых проекций должна быть та, где прямая проецируется в натуральную величину.
Задача. Определить взаимное положение прямых АB и CD (рис. 43).
Решение
1. Анализируем заданный чертеж:
1.1. Взаимных положений прямых возможны 3 варианта: пересечение, параллельность и скрещивание. Так как заданные проекции прямых не параллельны друг другу, следовательно, заданные прямые не параллельны друг другу в пространстве.
1.2. Рассмотрим положение в пространстве каждой из заданных прямых. Прямая CD занимает общее положение. Прямая АВ занимает частное положение – является профильной прямой уровня. На профильной проекции прямая будет проецироваться в натуральную величину. Следовательно, для определения взаимного положения прямых АВ и CD надо построить профильные проекции этих прямых.
Рис. 43. Условие задачи
Рис. 44. Решение задачи
2. Как видно на рис. 44, мнимая точка пересечения прямых распадается на две точки на профильной проекции – Е и N. Следовательно, эти прямые скрещиваются.
ПЛОСКОСТЬ
Аксиомы, определения, теоремы курса стереометрии
Аксиома 1.Через любые две точки проходит одна и только одна прямая линия.
Аксиома 2.Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.
Аксиома 3.Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
Аксиома 4.Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
Следствия из аксиом
Следствие 1. Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку.
Следствие 3. Через две различные параллельные прямые можно провести только одну плоскость.
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.