Пример 1.
При 
=-1 и решение выражается формулой 
;
при 
, решение 
:
Исходя из требования непрерывности решения при 
:
x( 0 ) = 
,
. Поэтому решение выражается формулой 
. При 
производной 
не существует.
Пример 2.
При 
3, решение 
,
при 
, решение 
:
x
При возрастании 
каждое решение доходит до прямой 
0. Поле направлений не позволяет решению сойти с прямой 
0 ни вверх, ни вниз. Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция 
не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нее , а правая часть уравнения при 
равна 1- sign 0=1 
0.
Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению
В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):
 |
S
Решение x(t) попадающее при 
на поверхность разрыва S, продолжается однозначно на значения 
и близкие к 
; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0).
В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2).
Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва.
§2. Определения решения.
Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи
, (1)
с кусочно-непрерывной функцией f в области G; 
, 
, M – множество (меры нуль) точек разрыва функции f.
Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки 
области G указывается множество 
в n -мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f непрерывна, то множество состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же 
-точка разрыва функции f, то множество 
задается тем или иным способом.
Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения
, (2)
т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I
.
Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная 
может принимать любые значения из некоторого множества .
Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью. Функцию называют многозначной функцией, подчеркивая, что значение - множество. Если для всех (t, x) множество состоит из единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция называется однозначной в точке 
, если множество F 
состоит из единственной точки.
Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова.