Пусть при 
функции 
2, 3,… непрерывны, а функции 
удовлетворяют условию Липшица, т.е.
при всех i= 1, 2, …, 
,
и неравенству
.
Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая любого решения системы уравнений (8) x(t), определенного при всех 
и лежащего в области
,
пересекает каждую поверхность 
только один раз.
Доказательство этой теоремы приведено в [12].
Теорема 5.
Если решение x(t) включения (12), определенное при всех 
устойчиво по Ляпунову, то оно является устойчивым и для системы (8). Верно и обратное.
Доказательство.
Пусть выполнены условия теоремы 4, т.е. исключим случай биения решения уравнения (8) о поверхности 
.
Решение x(t)= 0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет устойчивым и для системы (8).
Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция V(t, x), удовлетворяющая неравенству
.
При почти всех t производная 
существует и удовлетворяет включению (12). При этих t существует и
,
т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3.
Т.к. 
где M – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва в моменты 
, то указанная функция V(t, x), будет удовлетворять и второму неравенству:
.
Т.о., выполнены условия теоремы 3 и решение x(t)= 0 системы (8) устойчиво.
Обратно доказывается аналогично.
Заключение.
В связи с теорией релейных систем, систем с переменной стуктурой, реализацией законов оптимального управления и иных разрывных систем управления изучается общая теория разрывных систем. Эта теория восходит к задачам механики, где впервые изучались системы с сухим трением в трудах П. Пенлеве (1895 г. “Лекции о трении”) и Аппеля П.
В теории систем с разрывной правой частью учитываются как инженерно-физические, так и чисто математические соображения. Эта теория обеспечивает возможность математического исследования указанных систем, т. е. включает стандартные теоремы существования решений, их проджолжимости, теоремы качественной теории. Во второй главе приведено определение решения разрывных систем А.Ф. Филиппова. Как было отмечено, это определение соответствует минимальному возможному построению множества F(t, x) среди всех допустимых. Помимо определения Филиппова имеются и другие определения решений разрывных систем и диф. включений: Айзермана и Пятницкого [1] Викторовского [6], Матросова [8].
Теория систем с разрывными правыми частями основывается на теории дифференциальных включений, развитой Маршо и Зарембой (1934 г.), затем дополненной многочисленными авторами, в частности Важевским (1961 г.) и др. Связь этих теорий указана в §2 главы II. В третьей главе эти системы сводятся к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости таких систем.
Литература.
1. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II. – Автоматика и телемеханика, 1974, № 7, 33-47, № 8, 39-61.
2. Алимов Ю. И. Об устойчивости в целом равновесного состояния нелинейных систем автоматического регулирования. – Известия вузов, Радиофизика, 1959, 2, № 6.
3. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин Р.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959.
4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967.
5. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. Ктеории релейных дифференциальных уравнений. – Известия вузов, сер. матем., 1962, № 1, 3-13.
6. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений. – Математический сборник, 1954, 34, № 2, 213-248.
7. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978.
8. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями I, II. – Диф. уравн.,1967, 3, № 3, 395-409; № 5, 869-878.
9. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коледаний. – М.: Наука, 1972.
10. Неймарк Ю.И. о скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования. – Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 1.
11. Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах. – Диф. уравн., 1975, 11, № 6 1005-1012.
12. Самойленко А.М. Пересчук Н.А. Системы диф. уравн. с импульсным возмущением. М.: Наука, 1987.
13. Терия систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова С. В. – М.: Наука, 1981.
14. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – М.: Наука,1981.
15. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. – М.: Наука, 1974.
16. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – Математический сборник, 1960, 51, № 1, 99-128.
17. Филиппов А.Ф. дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985.
18. Филиппов А.Ф. Система диф. уравн. с несколькими разрывными функциями. – Математические заметки, 1980, 27, № 2, 255-266.
19. Филиппов А.Ф. Устойчивость для диф. уравн. с разрывными и многозначными правыми частями. – Диф. уравн., 1979, 15, № 6, 1018-1027.
[d1]