А. Выпуклое доопределение.

Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением.

Для каждой точки пусть - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции , когда Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с только что построенным . Т.к. - множество меры нуль, то при почти всех мера сечения множества плоскостью равна нулю. При таких множество определено для всех . В точках непрерывности функции множество состоит из одной точки и решение удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка лежит на границах сечений двух или нескольких областей , …, плоскостью , то множество есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами , , где

= .

Все точки ( = 1, …, содержатся в , но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами.

Определение 3.

Вектор-функция , определенная на интервале называется решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех для любого вектор принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству ( -мерного пространства), содержащему все значения вектор-функции , когда пробегает почти всю -окрестность точки в пространстве X (при фиксированном ), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль.

Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва.

Рассмотрим случай, когда функция разрывна на гладкой поверхности , задаваемой уравнением . Поверхность S делит свою окрестность в пространстве на области и . Пусть при и приближении к из областей и функция имеет предельные значения

Тогда множество , о котором говорится в доопределении А, есть отрезок, соединяющий концы векторов и , проведенных из точки .

aЕсли этот отрезок при лежит по одну сторону от плоскости , касательной к поверхности в точке, то решения при этих переходят с одной стороны поверхности на другую:

Рис. 1.

aЕсли этот отрезок пересекается с плоскостью , то точка пересечения является концом вектора , определяющего скорость движения

(3)

по поверхности в пространстве :

f ⁰

f ^-

G ^-

f ⁺

G ^-

Рис. 2.

Причем касательный вектор к S , следовательно . Это значит, что функция , удовлетворяющая уравнению (3) в силу доопределения А считается решением уравнения (1). Разумеется, непрерывная функция , которая на данной части рассматриваемого интервала времени проходит в области (или в ) и там удовлетворяет уравнению (1), а на оставшейся части проходит по поверхности и удовлетворяет уравнению (3), также считается решением уравнения (1) в смысле доопределения А.

В уравнение (3) ,

, (),

- проекции векторов и на нормаль к поверхности в точке (нормаль направлена в сторону области ).

Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве ) возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок J:

f⁺

Рис. 3.

При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от ; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие решения.

Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному возможному определению множества F(t, x) среди всех допустимых. Это удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других случаях, имеет место единственность решения.

aЕсли весь отрезок с концами и лежит на плоскости P, то скорость движения по поверхности разрыва S определяется неоднозначно.

При , имеет место скользящий режим, о котором шла речь во введение. Пусть уравнение идеального скольжения имеет вид (3). Вычисляя для из условия , находим уравнение

, (4)

с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме (начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е. S(x( 0 ))= 0).

Пример 3.

Решить систему

Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую и уже не может сойти с нее. Если точка М лежит на оси , то в окрестности этой точки вектор , компоненты которого - правые части системы, принимает два значения: при , (6,-2) при . Отложим из точки М эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ:

Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3, лежит конец вектора для точки М. В то же время вектор скорости должен лежать на оси . Т.к. решение не может сойти с нее ни вверх, ни вниз, следовательно, конец вектора лежит в точке пересечения отрезка АВ и оси . Т.о., этот вектор определяется однозначно. Легко подсчитать, что

Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f(t, x) необходимо заменить значение в точке разрыва некоторым множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым. Кроме этого оно должно включать все предельные значения при (t, x) . После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем диф. включение (2), в котором многозначная функция удовлетворяет перечисленным требованиям.

Однако, в некоторых случаях множество в (2) в точках разрыва функции нельзя определить, зная только значения функции в точках ее непрерывности.

Пример 4.

В механической системе с сухим трением:

масса тела, его отклонение, упругая сила, сила трения, являющаяся нечетной и разрывной при =0 функцией скорости , -внешняя сила. Трение покоя может принимать любые значения между [d1] своим наибольшим и наименьшим значениями и - . Если = , то применимо доопределение . Если же > , то движение с нулевой начальной скоростью зависит не только от значений функции в областях ее непрерывности, но и от величины . Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно записать в виде включения (2). Множество при – точка, а при v =0 – отрезок, длина которого зависит от .

Следовательно, множество не всегда определяется предельными значениями функции из (1), и в общем случае это множество надо задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе.

Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу построения множества F(t,x).

Рассмотрим систему

, (6)

где , вектор-функция непрерывна по совокупности аргументов, а скалярные или векторные функции разрывны соответсвенно на множествах , i=1,…,r, которые могут иметь общие точки и даже совпадать. В каждой точке (t, x) разрыва функции задается замкнутое множество - множество возможных значений аргумента функции . Предполагается, что при аргументы и могут независимо друг от друга пробегать соответственно множества и . Обычно, это условие выполнено, если функции и описывают различные независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где функция непрерывна, множество состоит из одной точки . В точках, разрыва функции необходимо, чтобы множество содержало все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида , где k =1,2,…(или , где k =1,2,…). Потребуем, чтобы множество было выпуклым (если - скалярная функция, то - отрезок или точка).