ЗАДАНИЕ 4. Электромагнетизм и переменный ток

Основные формулы

· Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля:

где m₀ – магнитная постоянная, m₀ = 4pּ10^-7 Гн/м,

m –магнитная проницаемость среды.

· Закон Био-Савара-Лапласа:

где dB – магнитная индукция поля, создаваемая элементом проводника длиной dl с током J; r – радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой вычисляется магнитная индукция; a - угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе проводника.

· Магнитная индукция в центре кругового тока:

где R – радиус кругового витка.

· Магнитная индукция поля прямого тока:

где r₀ – расстояние от оси проводника до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.

· Магнитная индукция поля, создаваемая отрезком провода с током J:

где a₁ и a₂ – углы между направлением тока и радиус – вектора, проведенные из начала и конца проводника в рассматриваемую точку.

· Напряженность магнитного поля внутри соленоида:

где п – число витков на единицу длины соленоида, N – общее число витков,

l – длина соленоида.

· Поток магнитной индукции, связанной с контуром:

где S – площадь, ограниченная контуром, a – угол между нормалью к плоскости контура и направлением вектора магнитной индукции.

· На прямолинейный проводник длиной l c током J, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера:

где a – угол между направлениями тока и вектора индукции.

· На заряженную частицу, движущуюся со скоростью n в магнитном поле, действует сила Лоренца:

где q - заряд частицы, a - угол между направлением поля и скорости частицы.

· При перемещении проводника с током J в магнитном поле (перпендикулярно полю) совершается работа:

где D Ф – магнитный поток через площадь, описываемую проводником при перемещении.

· Закон Фарадея для электродвижущей силы индукции:

где – скорость изменения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром.

· Возникающая в контуре ЭДС самоиндукции:

где L – индуктивность в контуре, – скорость изменения тока в контуре.

· Индуктивность соленоида:

где N – число витков, S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина соленоида.

· Индуктивность контура L связана с пронизывающим его магнитным потоком Ф следующим соотношением:

где I – ток в контуре, обуславливающий магнитный поток.

· Энергия магнитного поля, создаваемого током I в контуре с и индуктивностью L:

· Плотность энергии магнитного поля:

где Н – напряженность, В – индукция магнитного поля.

· ЭДС индукции, возникающая в рамке площадью S, содержащей N витков, при вращении ее с угловой скоростью w в магнитном поле с индукцией В, определяется соотношением:

где wt – угол поворота рамки к моменту времени t.

Период собственных колебаний в контуре, не содержащим омическое сопротивление (ф.Томсона):

Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенное омическое сопротивление R₀, индуктивность L и емкость С:

Примеры решения задач

Задача №1

Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной  = 20 см, если по рамке течет ток 3А.

Решение:

 = 20 см=0,2 м Индукция магнитного поля в центре

I = 3A рамки равна векторной сумме индукций

______________ магнитного поля, создаваемых всеми её

B -? сторонами: .

Все эти векторы направлены в одну сторону перпендикулярно к плоскости рамки и вследствие симметрии B = 4B₁

, где ₁=45⁰, ₂=180⁰-45⁰=135⁰.

Окончательно имеем:

Задача №2

Катушка длиной l = 40 см и диаметром 5 см содержит 300 витков. По катушке течет ток I = 1A. Определите: 1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь её поперечного сечения.

Решение:

l=40 cм=0,4м 1) Индуктивность соленоида:

d=5cм=5*10^-2м L=μ₀ μ . (1)

N=300 витков Площадь поперечного сечения:

I=1A . (2)

μ₀= 4π *10^-7Гн /м С учетом (2) индуктивность: , (3)

1) L-? 2)Ф -?

2) Магнитный поток: , (4)

Задача №3

В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл равномерно с частотой n = 600 мин^-1 вращается рамка, содержащая 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки 200 см². Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна направлению магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

Решение:

B = 0,1 Тл ЭДС по закону Фарадея:

n = 600 об/мин=10 об/с . (1)

N = 1000 витков Магнитный поток:

S = 200 см²=2 ּ 10^-2м²

_________________

E _max -? (2)

Подставив (2) в (1), получим:

. (3)

E_m_ax – при sin 2πnt=1.

E_max=2πnNBS; E_max= .

Задача №4

По обмотке соленоида индуктивностью L = 3 мГн, находящегося в диамагнитной среде, течет ток I = 0,4 А. Площадь поперечного сечения S = 10 см² и число витков N = 1000. Определить внутри соленоида: 1)энергию магнитного поля; 2) магнитную индукцию.

Решение

1) Энергия магнитного поля: , (1)