ЗАДАНИЕ 2. Молекулярная физика и термодинамика

Основные формулы

· Количество вещества однородного газа (в молях):

, или ,

где N – число молекул газа; N_A – число Авогадро; m – масса газа; М – молярная масса газа.

· Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния газа):

где p – давление газа; V – его объем; T – температура; R – молярная газовая постоянная.

· Масса молекулы m_i:

· Концентрация молекул (число молекул в единице объема) n₀:

где N – число молекул, содержащихся в данном объеме; r – плотность вещества.

· Средняя кинетическая энергия движения молекулы:

где i - число степеней свободы; k - постоянная Больцмана.

· Основное уравнение кинетической теории газов:

, ,

где n₀ – концентрация молекул; <w_п> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

· Зависимость давления газа от концентрации молекул n₀ и температуры Т:

· Средняя квадратичная скорость молекулы:

· Средняя арифметическая скорость молекулы:

· Наиболее вероятная скорость молекулы:

где m₁ – масса одной молекулы.

· Удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (с_v) и при постоянном давлении (с_р):

; .

· Связь между удельной (с) и молярной (С) теплоемкостями:

· Уравнение Роберта Майера:

· Среднее число соударений молекул:

где d – эффективный диаметр молекулы.

· Средняя длина свободного пробега молекулы:

· Масса, переносимая при диффузии сквозь площадку D S за промежуток времени D t (закон Фика):

где D – коэффициент диффузии; Dr /Dх – градиент плотности.

· Энергия, переносимая вследствие теплопроводности через площадку D S за промежуток времени D t (закон Фурье):

где l – коэффициент теплопроводности; – градиент температуры.

· Сила внутреннего трения F, действующая между слоями жидкости, пропорциональна площадке соприкасающихся двух слоев жидкости D S, градиенту скорости и коэффициенту внутреннего трения h (закон Ньютона):

· Внутренняя энергия газа:

· Первое начало термодинамики:

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); D U – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершаемая системой против внешних сил.

· Работа расширения газа:

а) при изобарном процессе: = ;

б) при изотермическом процессе:

в) при адиабатном процессе:

· Уравнение Пуассона для адиабатного процесса:

, и

· Термический КПД идеальной тепловой машины:

, или ,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя; Q₂ – теплота, переданная рабочим телом охладителю; Т₁ и Т₂ – термодинамические температуры нагревателя и охладителя.

· Коэффициент поверхностного натяжения:

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости.

· Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:

где Q - краевой угол; r - плотность жидкости; R – радиус трубки.

· Изменение энтропии системы при переходе из состояния А в состояние В: ,

где количество теплоты, переданное системой; Т - температура, при которой происходила теплопередача.

Примеры решения задач

Задача №1

Определить среднюю кинетическую энергию молекулы кислорода, находящейся при температуре 17°С. Найти также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода.

Решение:

Средняя кинетическая энергия (поступательного

и вращательного движения) одной молекулы:

(1)

где число степеней свободы, для двухатомного

_____________________ газа ( на поступательное движение и

на вращательное движение); постоянная

Больцмана, .

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа:

, (2)

где – число молекул: (3)

число Авогадро;

кинетическая энергия вращательного движения:

. (4)

Подставив (3) и (4) в (2), получим: .

Задача №2

Азот массой m нагревается в одном случае изобарно, а в другом изохорно на D Т. Во сколько раз потребуется больше теплоты в первом случае, чем во втором?

Решение:

Теплота, потребляемая при изобарном процессе (P=const):

. (1) Теплота, потребляемая при изохорном процессе (V=const):

, (2)

где С_P и C_V – молярные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно.

Поделив (1) на (2), получим:

. (3)

Так как

, (4)

, (5)

то подставив (4) и (5) в (3), получим:

Таким образом, для любой массы газа при одинаковой разности температур отношения теплот есть величина постоянная.

Задача №3

Определите диаметр молекулы кислорода, если известно, что для кислорода коэффициент внутреннего трения при нормальных условиях равен .

Решение:

Коэффициент внутреннего трения:

, (1)

где - средняя арифметическая скорость;

_________________ , (2)

средняя длина свободного пробега молекулы

кислорода:

, (3)

концентрация молекул: , (4)

плотность кислорода: . (5)

Подставив (2),(3),(4),(5) в уравнение (1), получим:

, откуда ,

, .

Задача №4

1 кг водорода нагрели до температуры 100 °С в условиях свободного расширения (P=const). Определите: 1) количество теплоты, сообщенное газу; 2) изменение его внутренней энергии; 3) работу расширения.

Решение:

1) Количество теплоты Q, сообщенное водороду при P=const, определим по формуле:

, (1)

где с_р – удельная теплоемкость газа при P=const.

, (2)

где i – число степеней свободы, для двухатомного газа i=5. Подставив (2) в (1), получим: .

2) Внутренняя энергия газа выражается формулой:

а изменение внутренней энергии:

, (3)

3) Работу расширения газа определим по формуле, выражающей первое начало термодинамики:

. (4)

Откуда ,

Задача№5

Азот, находящийся при температуре 27 °С и давлении в 1,5 атм, был адиабатически сжат до объема в 5 раз меньше начального объема. Определите давление и температуру азота после его сжатия.

Решение:

Давление после сжатия определим по формуле