Динамика поступательного движения

· Согласно второму закону Ньютона:

, или ,

где m - масса тела; а – ускорение, приобретенное им под действием силы F; v₁ и v₂ – начальная и конечная скорости.

· Закон сохранения импульса (количество движения):

или для двух тел (i =2)

где и – векторы скоростей тел до взаимодействия; и – векторы скоростей тех же тел после взаимодействия.

· Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила тяжести: ;

б) сила трения скольжения: ,

где k – коэффициент трения скольжения; N - сила нормального давления.

в) сила упругости: ,

где k – коэффициент упругости (жесткость пружины), х – абсолютная деформация;

г) сила гравитационного взаимодействия: ,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы тел; r – расстояние между телами.

· Работа постоянной силы F на пути S:

где a – угол между направлением силы и пути.

· Мощность постоянной силы:

где v – скорость движения.

· Кинетическая энергия тела массой m, движущегося поступательно со скоростью ,

· Потенциальная энергия упруго деформируемого тела:

где D х – величина деформации; k – коэффициент упругости.

· Потенциальная энергия тяготения двух шарообразных тел (или материальных точек) с массами m₁ и m₂:

где R – расстояние между телами; G – гравитационная постоянная.

· Потенциальная энергия тела массой m, приподнятого на небольшую высоту h над землей:

Динамика вращательного движения

· Момент силы F относительно некоторой оси вращения:

где R – расстояние между линией действия силы и осью вращения; J – момент инерции; e – угловое ускорение.

· Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) диска (цилиндра): ,

где R - радиус диска (цилиндра);

б) материальной точки: ;

в) тонкого стержня длиной l: ;

г) шара с радиусом R: .

· Закон сохранения момента импульса:

или для двух тел (i =2),

где и – моменты инерции тел и угловые скорости в начальный момент времени; и – в момент времени, принятый за конечный.

· Кинетическая энергия вращающегося тела:

Примеры решения задач

Задача № 1

Зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид . Определите силу, действующую на тело с массой m=1 кг в конце второй секунды.

Решение:

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона

равна:

Мгновенное значение ускорения а определяется первой

производной от скорости по времени или второй производ-

ной от пути по времени:

При t=2 с. . Тогда

Задача №2

Тело массой 2 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно так, что зависимость пройденного пути от времени выражается уравнением S=2t²+3t+1. Определите работу силы за 10 с сначала ее действия.

Решение:

Работа, совершаемая силой, выражается через интеграл:

. (1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона:

. (2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени. В соответствии с этим получим:

(3)

, (4)

. (5)

Тогда из формулы (3) имеем

(6)

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим:

Работа, совершаемая силой за 10 с сначала движения, составит:

Задача №3

Диск радиусом R=10 см вращается так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения:

1) тангенциальное ускорение ;

2) нормальное ускорение ;

3) полное ускорение .

Решение:

Найдем угловую скорость, взяв производную по времени от заданного уравнения:

, при .

Угловое ускорение: , при

Тангенциальное ускорение:

Нормальное ускорение: .

Полное ускорение: .

Задача №4

Шар радиусом R=10 см и массой m=15 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению С = –0,2 рад/с³). Определите момент силы М для t=3 c.

Решение:

Момент силы согласно уравнению динамики вращательного движения:

, (1)

где J – момент инерции шара,

. (2)

Угловое ускорение определяется первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени:

(3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим:

Задача №5

По горизонтальной поверхности катится диск со скоростью . Определите коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленный самому себе, остановится, пройдя путь .

Решение:

Кинетическая энергия диска:

__________ , (1)

где момент инерции диска,

угловая скорость,

. (2)

Эта энергия пойдет на работу по преодоления сил сопротивления

(3)

Приравнивая (2) и (3), получим:

Задача №6

Радиус Луны , а ее средняя плотность . Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты.

Решение:

На всякое тело, расположенное вблизи

поверхности планеты действует сила тяжести:

(1)

__________________ Ее можно приравнять к силе гравитационного

тяготения: . (2)

Откуда , (3)

где масса Луны, (4)

Подставив (4) в (3), получим: , (5)

Задача №7

Логарифмический декремент затухания камертона, колеблющегося с частотой , равен . Через какой промежуток времени амплитуда колебаний возбужденного камертона уменьшится в раз? Как изменится при этом энергия колебаний?