Теорема Гаусса - Маркова




Теорема. Если предпосылки 1 — 5 выполнены, то оценки, полученные по МНК, обладают следующими свойствами:

1. Оценки являются несмещенными, т.е. M[ b0 ] = b0, M[ b1 ] = b1. Это говорит об отсутствии систематической ошибки при определении положения линии регрессии.

2. Оценки состоятельны, т.к. при n ® µ D[ b0 ] ® 0, D[ b1 ] ® 0. Это означает, что с ростом n надежность оценок возрастает.

3. Оценки эффективны, т.е. они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин yi.

 

20.Дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов (ковариационная матрица и ее выборочная оценка)

Знание дисперсий и стандартных ошибок позволяет анализировать точность оценок, строить доверительные интервалы для теоретических коэффициентов, проверять соответствующие гипотезы. Наиболее удобно формулы расчета данных характеристик приводить в матричной форме.

Преобразуем вектор оценок с учетом наличия случайной составляющей:

,

Т.е. оценки параметров, найденные по выборке, будут содержать случайные ошибки.

Вариации оценок параметров будут определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают ковариационную матрицу К, являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной

, .

Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных. Так как является несмещенной оценкой, то

, .

В матричном виде будем иметь

,

так как эти элементы Х – детерминированные величины.

В матрице все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю в силу некоррелируемости и между собой, а все элементы, лежащие на главной диагонали равны одной и той же дисперсии : . Поэтому и, следовательно, ковариационная матрица

.

 

Так как 2 неизвестна, заменив её несмещённой оценкой – выборочной дисперсией,

,

где (n-p-1) – число степеней свободы, получим выборочную оценку ковариационной матрицы.

 

Интервальные оценки коэффициентов уравнения множественной регрессии. Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии.

Как и в случае парной регрессии, статистическая значимость коэффициентов множественной линейной регрессии с объясняющими переменными проверяется на основе -статистики:

имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы . При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение -статистики сравнивается с табличным значением распределения Стьюдента.

В случае, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента регрессии подтверждается. Это означает, что фактор линейно связан с зависимой переменной . Если же установлен факт незначимости коэффициента , то рекомендуется исключить из уравнения переменную . Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: