Геометрические задачи на построение
С помощью циркуля и линейки
Автор: Полякова Ксения,
учащаяся 8-А класса
Руководитель: Москаева В.Н.,
учитель математики
Нижний Новгород
Содержание
| Введение | ||
| Из истории геометрических построений циркулем и линейкой | ||
| Простейшие задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки | ||
| Метод геометрических мест точек | ||
| 3.1. | Некоторые геометрические места точек, часто используемые | |
| 3.2. | Примеры решения задач, решаемых методом ГМТ | |
| Построения Штейнера и построения с помощью двусторонней линейки прямого или острого угла | ||
| Заключение | ||
| Список литературы |
Введение
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – «лёд и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти две противоположности.
А. Д. Александров
Собираясь в школу, мы не забываем положить в портфель циркуль, линейку и транспортир. Эти инструменты помогают выполнить грамотно чертежи и красиво нарисовать. Данные инструменты используют инженеры, архитекторы, рабочие, конструкторы одежды, обуви, строители, ландшафтные дизайнеры. Хотя существуют компьютеры, но на стройке, в саду их пока не используешь.
Машина рисует мгновенно в течение нескольких секунд. Математик должен потратить довольно много времени, чтобы на языке, понятном машине объяснить ей то, что она должна сделать - написать программу и ввести её в машину, поэтому конструкторы нередко предпочитают работать с простейшими и древнейшими инструментами – циркулем и линейкой.
Что может быть проще? Гладкая дощечка с ровным краем - линейка, две заостренные палочки, связанные на одном конце - циркуль. С помощью линейки через две заданные точки проводят прямую. С помощью циркуля проводят окружности с данным центром и данного радиуса, отложить отрезок, равный данному.
Циркуль и линейка известны более 3 тысячи лет были уже известны, 200-300 лет назад их украшали орнаментами и узорами. Но, несмотря на это они и сейчас исправно служат нам. Простейших инструментов достаточно для огромного количества построений. Древние греки думали, что возможно любое разумное построение выполнить этими инструментами, пока не обнаружили три знаменательные задачи древности: «квадратуру круга», «трисекцию угла», «удвоение куба».
Поэтому считаю тему моей работы современной и важной для деятельности человека во многих сферах деятельности человека.
Все прекрасно знают, что математика используется в самых разных профессиях и жизненных ситуациях. Математика – предмет непростой. И геометрию большинство учащихся называет «трудной». Задачи на построение отличаются от традиционных геометрических задач.
Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.
Несмотря на богатое историческое прошлое, проблема решения задач на построение остается актуальной и в 21-м веке. В наше время бурно развиваются компьютерные технологии с применением графических редакторов для рисования геометрических объектов. Средства создания геометрических объектов изменились в связи с появлением новых компьютерных технологий. Однако, как и в глубокой древности, основными элементами при построении геометрических объектов остаются окружность и прямая, другими словами циркуль и линейка. С появлением новых компьютерных технологий возникли новые проблемы построения с использованием тех же объектов - прямой и окружности. Вот почему проблема решения задач на построение становится ещё более актуальной.
Программа по геометрии предполагает изучение лишь простейших приемов и методов построений. Но применение этих приемов часто вызывает затруднения. Поэтому, объектом моего исследования являются геометрические фигуры, построенные с помощью циркуля и линейки.
Цель моей работы: рассмотреть различные способы построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.
Методы исследования:
ü Анализ уже существующих способов построений
ü Поиск новых способов, простых в применении (ГМТ и построения Штейнера)
Задачи:
ü получить более полное представление о различных способах построений
ü проследить за развитием этого фрагмента геометрии в истории математики
ü продолжить развитие исследовательских умений.
Из истории геометрического построения циркулем и линейкой.
Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки-математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями.
Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем – линейки и двух заостренных палок, связанных на одном конце – циркуля. Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами.
Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.
Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки [1].
Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности, привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к созданию новых направлений математической мысли.
Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон, и только их. Лишь в 1796 году великий немецкий математик К.Ф.Гаусс открыл способ построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения N, при которых возможно построение правильного N-угольника указанными средствами. Первокурсник Геттингенского университета Карл Гаусс решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более 2 с лишним тысяч лет. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д. угольников.
Теория построения при помощи циркуля и линейки получила свое дальнейшее развитие. Был получен ответ на вопрос: можно ли решить задачу с помощью только одного из двух рассматриваемых инструментов, и достаточно неожиданный. Независимо друг от друга, датчанин Г.Мор в 1672 году и итальянец Л.Маскерони в 1797 году доказали, что любая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть точно решена с помощью только одного циркуля. Это кажется невероятным, но это так. А в XIX веке было доказано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки можно провести лишь с помощью одной линейки, при условии, что в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.
3. Простейшие задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки [2]
Рассмотрим основные (элементарные) построения, которые наиболее часто встречаются в практике решения задач на построение. Задачи такого рода рассматриваются уже в первых главах школьного курса.
Построение 1. Построение отрезка, равного данному.
Дано: отрезок длины а.
Построить: отрезок АВ длины а.
Построение:
Построение 2. Построение угла, равного данному.
Дано: ∟AOB.
Построить: ∟ KMN, равный ∟ АОВ.
Построение:
Построение 3. Деление отрезка пополам (построение середины отрезка).
Дано: отрезок АВ.
Построить: точку О – середину АВ.
Построение:
Построение 4. Деление угла пополам (построение биссектрисы угла).
Дано: ∟ АВС.
Построить: ВD – биссектрису ∟АВС.
Построение:
Построение 5. Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку.
а) Дано: прямая а, точка A 
а.
Построить: прямую, проходящую через точку А, перпендикулярно к
прямой а.
Построение:
б) Дано: прямая а, точка A 
a.
Построить: прямую, проходящую через точку А, перпендикулярно к
прямой а.
Построение:
Построение 6. Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.
Дано: прямая а, точка A 
a.
Построить: прямую, проходящую через точку А, параллельно прямой а.
I способ (через два перпендикуляра).
Построение:
II способ (через параллелограмм).
Построение:
Построение 7. Построение треугольника по трем сторонам.
Дано: отрезки длины a, b, c.
Построить: Δ ABC.
Построение:
Построение 8. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Дано: отрезки длины b, c, угол α.
Построить: треугольник ABC.
Построение:
Построение 9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.
Дано: отрезок длины c, углы α и β.
Построить: ΔABC.
Построение:
Построение 10. Построение касательной к данной окружности, проходящей через данную точку.
Дано: окружность 
(О), точка А вне ее.
Построить: касательную к окружности ω(О), проходящую через точку А.
Построение:
Рассмотренные задачи входят в качестве составных частей в решение более сложных задач, поэтому в дальнейшем, этапы основных построений не описываются.
Решение задач на построение состоит из четырех частей:
1. Предположив, что задача решена, делаем от руки приблизительный чертеж искомой фигуры и затем, внимательно рассматриваем начерченную фигуру, стремясь найти такие зависимости между данными задачи и искомыми, которые позволили бы свести задачу на другие, известные ранее. Эта самая важная часть решения задачи, имеющая целью составить план решения, носит название анализа.
2. Когда таким образом план решения найден, выполняют сообразно ему построение.
3. Доказательство - для проверки правильности плана на основании известных теорем доказывают, что полученная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.
4. Исследование - задаются двумя вопросами:
1) При всяких ли данных возможно решение?
2) Сколько существует решений?
Рассмотрим применение данных этапов на примере решения следующей задачи.
Задача: Построить треугольник, зная его основание b, угол A, прилежащий к основанию, и сумму s двух боковых сторон.
Анализ: Предположим, что задача решена, т.е. найден такой ΔAВС, у которого основание AС=b, ∟ВАС=A и AВ+ВС=s. Рассмотрим теперь полученный чертеж. Сторону AС, равную b, ∟ВАС=A, мы строить умеем. Значит, остается найти на другой стороне ∟A такую точку В, чтобы сумма AВ+ВС равнялась s. Продолжив AВ, отложим отрезок AD, равный s. Теперь вопрос приводится к тому, чтобы на прямой AD отыскать такую точку В, которая была бы одинаково удалена от С и D. Такая точка как мы знаем, должна лежать на перпендикуляре, проведенном к отрезку СD через его середину. Точка В найдется в пересечении этого перпендикуляра с АD.
Построение:
1. Строим ∟А, равный данному углу
2. На его сторонах откладываем AС=b и AD=s
3. Через середину отрезка прямой СD проводим перпендикуляр ВЕ
4. ВЕ пересекает AD в точке В
5. Соединяем точки В и С
6. ΔAВС - искомый.
Доказательство:
Рассмотрим полученный ΔAВС, в нем ∟А равен данному углу (по пункту №1 построения). Сторона AС=b (пункт №2) и стороны АВ и ВС в сумме составляют s (пункты №2,3,4). Следовательно по 1-му признаку равенства треугольников ΔAВС - искомый.
Исследование:
1. При всяких ли данных возможно решение?
Рассматривая построение, мы замечаем, что задача возможна не при всяких данных. Действительно, если сумма s задана слишком малой сравнительно с b, то перпендикуляр ВЕ может не пересечь отрезка AD (или пересечет его продолжение за точку D), в этом случае задача окажется невозможной.
И, независимо от построения, можно видеть, задача невозможна, если s < b или s =b, потому что не может быть такого треугольника, у которого сумма двух сторон была бы меньше или равна третьей стороне.
2. Сколько существует решений?
В том случае, когда задача возможна, она имеет только одно решение, т.е. существует только один треугольник, удовлетворяющий требованиям задачи, так как пересечение перпендикуляра ВЕ с прямой AD может быть только в одной точке.